Предложения с переменными

Похоже на высказывание, но им не является

Рассмотрим предложение $x + 3 = 8$. По форме оно похоже на высказывание, но высказыванием не является: $x$ — какое-то число, но мы его не знаем, поэтому не можем сказать, истинно это предложение или ложно. Вместе с тем можно утверждать, что при $x = 5$ оно истинно, а при остальных значениях $x$ — ложно.

Другими словами, предложение становится высказыванием — истинным или ложным, — если переменной $x$ придать конкретное числовое значение.

Подвигай ползунок в интерактиве справа и проверь, при каком $x$ равенство станет истинным.

Несколько переменных — заполнить нужно все

Как и буквенное выражение, предложение может содержать несколько переменных. Например: $x = y$ — с двумя переменными $x$ и $y$; $a + b = b + a$ — с двумя переменными $a$ и $b$; $s = vt$ — с тремя переменными $s$, $v$ и $t$; $V = abc$ — с четырьмя переменными $V$, $a$, $b$ и $c$.

Чтобы предложение с несколькими переменными превратилось в высказывание, нужно придать значение каждой из переменных. Например, положив в предложении $x = y$ значения $x = 2$, $y = 3$, получим ложное высказывание $2 = 3$.

Всегда истинно, всегда ложно — и важна область значений

Предложение с переменными не обязательно при одних значениях истинно, а при других ложно. Бывает, что оно истинно при любых значениях переменных — например, переместительное свойство сложения $a + b = b + a$ верно для любых чисел $a$ и $b$. Такими же всегда истинными являются правила действий с $0$ и $1$: $x + 0 = x$, $x - x = 0$, $x \cdot 1 = x$ и другие.

А предложение $2x = 15$ с переменной $x \in \mathbb{N}$, напротив, всегда ложно: при любом натуральном $x$ слева получается чётное число, а справа — нечётное $15$. Но если переменная может принимать и дробные значения, предложение становится истинным высказыванием при $x = 7{,}5$.

Попробуй сам: переключи множество значений $x$ и подвигай ползунок в интерактиве справа.

Переменные — не только числа

Предложения с переменными в математическом языке не обязательно являются равенствами или неравенствами. Например: «Натуральное число $k$ делится на $3$» — предложение с одной переменной $k$; «Дробь $\tfrac{m}{n}$ правильная» — предложение с двумя переменными $m$ и $n$; «Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $l$» — предложение с тремя переменными $A$, $B$ и $l$. В последнем примере переменные принимают значения не числа, а точки и прямые.

Обычный язык, как ни удивительно, тоже содержит переменные, хотя они не обозначаются буквами. Предложение «Коля учится в 6 «А» классе» похоже на высказывание, но им не является — мы не знаем, истинно оно или ложно, пока не знаем, какой именно Коля имеется в виду. Слово «Коля» здесь играет роль переменной, а её значением может быть любой мальчик с этим именем.

Имя предложению и знак равносильности ⇔

Высказывания — предложения без переменных — обозначают большими латинскими буквами. Для предложений с переменными используют такие же буквы, но в скобках дополнительно указывают имена входящих переменных. Например, $P(n)$ может обозначать «Число $n$ чётное», а $Q(x)$ — «$x^2 \le 2x + 3$»:

Знак равносильности $\Leftrightarrow$ показывает, что два предложения означают одно и то же. Этим же знаком в 5 классе уже записывали решение уравнений — переход от одного уравнения к другому, равносильному ему:

$3(2x + 1) = 12 \Leftrightarrow 2x + 1 = 4 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = 1\tfrac12$.

Раскрой цепочку по шагам в интерактиве справа и проверь, как одно уравнение превращается в другое.

Итог

• Предложение с переменной (высказывательная форма) становится высказыванием — истинным или ложным, — только после подстановки конкретных значений всех входящих в него переменных.
• Предложение с переменными может быть всегда истинным (свойства действий) или всегда ложным — в зависимости от того, какие значения разрешено подставлять вместо переменной.
• Переменные бывают не только числовыми: их значениями могут быть точки, прямые, слова обычного языка.
• Предложениям с переменными присваивают имена вида $P(n)$, $Q(x)$; знак $\Leftrightarrow$ означает, что два предложения равносильны — говорят об одном и том же.