Математика · 6 класс · Глава 1, §2, п.3

Переменная и кванторы

Сокращённая запись длинных высказываний

Математический язык позволяет записывать высказывания коротко и обозримо. Например, «Для того чтобы найти пройденный путь, можно скорость движения умножить на время движения» на математическом языке — просто $s = vt$, а «Элемент $a$ не принадлежит множеству $A$» — просто $a \notin A$.

Для двух особых видов высказываний — о существовании и общих — есть свои значки. Высказывания о существовании сокращённо записывают знаком $\exists$ («существует такой, что…») — его называют квантором существования. Общие высказывания записывают знаком $\forall$ («для любого», «для каждого», «для всякого») — это квантор общности.

💡 Из жизни: значки похожи на перевёрнутые буквы — с них в английском начинаются слова, обозначающие смысл кванторов: $\exists$ — перевёрнутая E, как в слове exist («существовать»); $\forall$ — перевёрнутая A, как в слове all («все»).

Переменная и множество её значений

Чтобы записать высказывание с квантором, сначала вводят переменную и указывают множество, из которого она берёт значения. Например, «Существует натуральное число, квадрат которого больше 8, но меньше 12» записывается так:

$\exists\, n \in \mathbb{N}: 8 < n^2 < 12$

Так же с помощью $\forall$ записываются общие высказывания:

Русский языкЛогический язык
Все деревья имеют корни$\forall x \in L: x$ имеет корни ($L$ — множество деревьев)
Любая правильная дробь меньше 1$\forall p \in P: p < 1$ ($P$ — множество правильных дробей)
Всякое натуральное число больше 2$\forall n \in \mathbb{N}: n > 2$
От перемены мест слагаемых сумма не меняется $\forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}: a + b = b + a$

Проверь последнюю строку — переместительное свойство — в интерактиве справа: сколько бы значений $a$ и $b$ ты ни поставил, равенство остаётся истинным.

Несколько переменных — один квантор на всех

Если переменных несколько и все они принимают значения из одного и того же множества, квантор можно не повторять для каждой переменной, а поставить один раз сразу для нескольких. Так, переместительное свойство сложения короче записывается:

$\forall a, b \in \mathbb{R}: a + b = b + a$

Это то же самое высказывание, что и $\forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}: a + b = b + a$ — просто запись компактнее.

🧠 Кстати, изученные свойства арифметических действий — это, по сути, истинные высказывания общего вида, записанные с квантором $\forall$.

Одно предложение — два разных высказывания

Символьная запись раскрывает важную особенность: и общие высказывания, и высказывания о существовании — это предложения с переменными, которые квантор превращает в высказывание. Возьмём предложение «Квадрат натурального числа $n$ равен 16» — само по себе оно не истинно и не ложно, ведь неизвестно, какое $n$ имеется в виду. Но добавив разные кванторы, получаем два разных высказывания:

$\forall n \in \mathbb{N}: n^2 = 16$ — «Квадрат любого натурального числа равен 16»; и $\exists n \in \mathbb{N}: n^2 = 16$ — «Существует натуральное число, квадрат которого равен 16».

Определение. Первое высказывание — ложное: достаточно одного числа, для которого равенство не выполняется (контрпример $n=1$, ведь $1^2 = 1 \ne 16$), чтобы общее высказывание с $\forall$ стало ложным. Второе — истинное: достаточно найти хотя бы одно подходящее число (при $n=4$ имеем $4^2 = 16$ — верно), чтобы высказывание с $\exists$ стало истинным.
⚠️ Частая ошибка. Ученики путают, сколько примеров нужно для доказательства. Чтобы опровергнуть высказывание с $\forall$, достаточно одного контрпримера. А чтобы доказать высказывание с $\exists$, тоже достаточно одного подходящего значения — но чтобы доказать высказывание с $\forall$, одного примера мало, нужно доказать сразу для всех значений.

Перебери числа $1$–$6$ в интерактиве справа — на вкладках $\exists$ и $\forall$ — и увидь эту разницу своими глазами.

Итог

  • $\exists$ — квантор существования («существует такой, что…»), $\forall$ — квантор общности («для любого», «для каждого»).
  • Перед записью с квантором нужно ввести переменную и указать множество её значений.
  • Несколько переменных из одного множества можно объединить под одним квантором: $\forall a, b \in \mathbb{R}$.
  • Квантор — ещё один способ превратить предложение с переменной в высказывание — наряду с подстановкой конкретного значения.
  • Высказывание с $\forall$ опровергается одним контрпримером; высказывание с $\exists$ доказывается одним подходящим значением.
🧠 Запомни: $\exists$ — хватит одного «да», чтобы всё было истинно; $\forall$ — хватит одного «нет», чтобы всё стало ложно.
← Глава 1, §2 · п.2 Предложения с переменными Все темы Глава 1, §2 · п.4 → Отрицание утверждений с кванторами

Кликай числа и проверяй: $n^2 = 16$?

$\exists\, n \in \mathbb{N}: n^2 = 16$
Нажми на число, чтобы проверить его квадрат
Пока не решено — ищем хотя бы одно подходящее $n$
Сбросить и попробовать заново

Кликай числа и проверяй: верно ли $n^2 = 16$ для каждого?

$\forall\, n \in \mathbb{N}: n^2 = 16$
Нажми на число, чтобы проверить его квадрат
Пока не решено — проверяем каждое число подряд
Сбросить и попробовать заново

Двигай ползунки $a$ и $b$ — равенство останется истинным при любых значениях

$\forall\, a, b \in \mathbb{R}: a + b = b + a$
3
7
3 + 7 = 7 + 3  =  10 Истина
Сколько бы значений ты ни перебрал — равенство всегда истинно. Это и есть суть $\forall$.
Наведи курсор на подчёркнутые формулы в тексте слева — интерактив сам переключится