💡 Из жизни: Наблюдательный Юра заметил, что если в двузначное число,
выражающее расстояние в километрах, которое он сегодня проехал, вставить нуль между
цифрами десятков и единиц, то получится число, в 9 раз большее исходного. Какое расстояние
сегодня проехал Юра? Здесь нет готовой формулы для подстановки — приходится пробовать
разные числа, пока не найдётся подходящее.
При решении задач бывает, что модель задачи не сводится к уже известным случаям — никакие
выученные правила преобразований не помогают сразу найти ответ.
Метод проб и ошибок — способ найти решение, «экспериментально» подбирая
значения неизвестного: пробуем число, смотрим, подходит ли оно, и если нет — пробуем
следующее, учитывая, в какую сторону нужно изменить попытку.
Пример: подбираем х
Прямоугольный участок земли имеет ширину $x$ и длину $x+3$ (в метрах), а его площадь равна
70 м². Модель задачи — равенство
$x(x + 3) = 70$.
Никакие известные правила преобразований здесь не помогают — начинаем пробовать.
1
Попробуем $x=4$: $4\cdot(4+3) = 4\cdot 7 = 28$ — значение слишком мало.
2
Попробуем $x=6$: $6\cdot(6+3) = 6\cdot 9 = 54$ — ближе к цели, но всё ещё мало.
Значит, ширина участка $x=7$ м, а длина $x+3=10$ м.
Задача решена? Не спеши
Может показаться, что задача уже решена, но это не так: буквенное выражение может быть
равно 70 при разных значениях $x$. Например, произведение $x\cdot(17-x)$ равно 70 и при
$x=7$, и при $x=10$ — сразу два разных ответа.
Полнота решения. Для полного решения задачи нужно найти все
её решения или доказать, что других решений нет. Один найденный подходящий вариант — это
ещё не полное решение.
В нашей задаче $x$ — это ширина участка, поэтому $x>0$, и проверить полноту несложно:
1
Если $x$ больше 7, то $x+3$ больше 10, и тогда произведение $x(x+3)$ станет
больше 70.
2
Аналогично, если $x$ меньше 7, то произведение $x(x+3)$ окажется меньше 70.
3
Значит, равенство $x(x+3)=70$ верно только при одном значении $x=7$ — других
решений нет.
Ответ: длины сторон участка равны 7 м и 10 м —
проверь на прямоугольнике справа.
⚠️ Частая ошибка: найдя одно подходящее число, ученики сразу записывают
его в ответ и останавливаются. Но подбор одного решения не гарантирует полноты решения —
нужно ещё показать (как в шагах выше), что другие значения $x$ не подходят, иначе можно
пропустить второй верный ответ.
🧠 Запомни:
Если известные правила преобразований не помогают — используй метод проб и ошибок:
подставляй числа и смотри, подходят ли они.
Каждая проба даёт подсказку — увеличить или уменьшить следующее число.
Найти одно подходящее число — это ещё не полное решение задачи.
Полнота решения — это доказательство, что все возможные решения найдены и ни одно
не пропущено.