В прошлой теме мы узнали, что высказывания с квантором $\forall$ опровергаются одним контрпримером. Теперь запишем это правило на языке кванторов — тогда отрицание общих высказываний и высказываний о существовании можно будет строить быстро, без долгих рассуждений.
Пусть $P(x)$ — предложение с переменной $x \in M$. Общему высказыванию $\forall x \in M: P(x)$ соответствует его отрицание $\lnot[\forall x \in M: P(x)]$ — оно означает «не все $x \in M$ обладают свойством $P(x)$». А это то же самое, что «существует хотя бы один $x \in M$, который свойством $P(x)$ не обладает»:
Например, пусть $N$ — множество натуральных чисел. Тогда:
Проверь это правило в интерактиве справа — переберём числа и найдём то самое «хотя бы одно», которое опровергает исходное высказывание.
Действует и обратное правило — симметричное. Если высказывание о существовании $\exists x \in M: P(x)$ ложно, значит ни одно значение $x \in M$ свойством $P(x)$ не обладает — а это уже общее высказывание:
Например (снова $N$ — множество натуральных чисел):
Ложность высказывания $\exists x \in N: x \le x - 1$ следует из общего свойства натуральных чисел: число $x$ всегда стоит на числовом луче правее числа $x - 1$, значит $x > x - 1$ для любого $x$. Проверь это в интерактиве справа — сколько бы чисел ты ни перебрал, ни одно не подойдёт под $x \le x - 1$.
Правило отрицания объясняет, почему для опровержения общего высказывания достаточно одного контрпримера. Опровергнуть $\forall x \in M: P(x)$ — то же самое, что доказать истинность его отрицания $\exists x \in M: [\lnot P(x)]$. А высказывание о существовании доказывается одним подходящим значением — значит и опровергнуть общее высказывание можно одним примером, для которого $P(x)$ не выполняется.
Отрицание меняет квантор и «заходит» под предложение $P(x)$
Кликай числа и ищи контрпример: верно ли $x \le 2$?
Кликай числа и ищи свидетеля: верно ли $x \le x - 1$?