6 класс · Язык и логика

Отрицание утверждений с кванторами

Как отрицать общее высказывание

В прошлой теме мы узнали, что высказывания с квантором $\forall$ опровергаются одним контрпримером. Теперь запишем это правило на языке кванторов — тогда отрицание общих высказываний и высказываний о существовании можно будет строить быстро, без долгих рассуждений.

Пусть $P(x)$ — предложение с переменной $x \in M$. Общему высказыванию $\forall x \in M: P(x)$ соответствует его отрицание $\lnot[\forall x \in M: P(x)]$ — оно означает «не все $x \in M$ обладают свойством $P(x)$». А это то же самое, что «существует хотя бы один $x \in M$, который свойством $P(x)$ не обладает»:

Определение. $$\lnot[\forall x \in M: P(x)] \;\Leftrightarrow\; \exists x \in M: [\lnot P(x)]$$ Знак отрицания меняет квантор общности $\forall$ на квантор существования $\exists$ и переносится внутрь — на само предложение $P(x)$.
1
«Не все $x \in M$ обладают свойством $P(x)$» — это отрицание общего высказывания.
2
«Не все обладают» значит «хотя бы один не обладает» — то есть существует такой $x$, для которого $P(x)$ ложно.
3
Значит отрицание записывается через $\exists$ и $\lnot P(x)$: $\exists x \in M: [\lnot P(x)]$.

Например, пусть $N$ — множество натуральных чисел. Тогда:

$\lnot[\forall x \in N: x \le 2] \;\Leftrightarrow\; \exists x \in N: x > 2$

Проверь это правило в интерактиве справа — переберём числа и найдём то самое «хотя бы одно», которое опровергает исходное высказывание.

Как отрицать высказывание о существовании

Действует и обратное правило — симметричное. Если высказывание о существовании $\exists x \in M: P(x)$ ложно, значит ни одно значение $x \in M$ свойством $P(x)$ не обладает — а это уже общее высказывание:

$$\lnot[\exists x \in M: P(x)] \;\Leftrightarrow\; \forall x \in M: [\lnot P(x)]$$ Здесь отрицание меняет квантор существования $\exists$ на квантор общности $\forall$ — и снова переносится внутрь, на $P(x)$.

Например (снова $N$ — множество натуральных чисел):

$\lnot[\exists x \in N: x \le x - 1] \;\Leftrightarrow\; \forall x \in N: x > x - 1$

Ложность высказывания $\exists x \in N: x \le x - 1$ следует из общего свойства натуральных чисел: число $x$ всегда стоит на числовом луче правее числа $x - 1$, значит $x > x - 1$ для любого $x$. Проверь это в интерактиве справа — сколько бы чисел ты ни перебрал, ни одно не подойдёт под $x \le x - 1$.

Зачем это нужно — связь с контрпримером

Правило отрицания объясняет, почему для опровержения общего высказывания достаточно одного контрпримера. Опровергнуть $\forall x \in M: P(x)$ — то же самое, что доказать истинность его отрицания $\exists x \in M: [\lnot P(x)]$. А высказывание о существовании доказывается одним подходящим значением — значит и опровергнуть общее высказывание можно одним примером, для которого $P(x)$ не выполняется.

⚠️ Частая ошибка. Ученики забывают поменять квантор и пишут отрицание так: $\lnot[\forall x \in M: P(x)] \;"="\; \forall x \in M: [\lnot P(x)]$. Это неверно! Квантор общности $\forall$ обязательно меняется на квантор существования $\exists$ (и наоборот для $\exists \to \forall$) — отрицание не просто добавляет $\lnot$ перед $P(x)$, оно ещё и «переворачивает» квантор.

Итог

  • $\lnot[\forall x \in M: P(x)] \Leftrightarrow \exists x \in M: [\lnot P(x)]$ — отрицание общего высказывания меняет $\forall$ на $\exists$.
  • $\lnot[\exists x \in M: P(x)] \Leftrightarrow \forall x \in M: [\lnot P(x)]$ — отрицание высказывания о существовании меняет $\exists$ на $\forall$.
  • В обоих случаях знак отрицания «заходит внутрь» — переносится с самого высказывания на предложение $P(x)$, превращая его в $\lnot P(x)$.
🧠 Запомни: отрицание кванторного высказывания — это всегда смена квантора плюс отрицание внутри. Забыл сменить квантор — получил неверную запись, даже если $\lnot P(x)$ написано правильно.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике