Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями

Дроби двух видов в одном примере

Действия с обыкновенными дробями по отдельности и действия с десятичными дробями по отдельности мы уже освоили. Теперь разберём примеры, где обыкновенная и десятичная дробь встречаются вместе, в одном выражении — например: $2\tfrac34 - 0{,}6$;   $121{,}2 : \tfrac{6}{25}$;   $5{,}18 \cdot \tfrac{5}{7}$.

Сравни три примера — в каждом выгоднее оказался свой вид записи:

Открой вкладку «Порядок действий» в интерактиве справа и разбери решение каждого примера по шагам.

Как выбрать: десятичные или обыкновенные

В первом примере после перевода $0{,}6$ в обыкновенную дробь получились бы разные знаменатели ($4$ и $5$) — а перевести $2\tfrac34$ в десятичную легко, так как знаменатель $4 = 2^2$ раскладывается только на множители $2$ и $5$. Поэтому удобнее десятичный вид.

А вот во втором и третьем примерах десятичный вид неудобен или вовсе невозможен. Деление на $\tfrac{6}{25}$ «уголком» потребовало бы громоздкого деления на двузначное число. А знаменатель дроби $\tfrac57$ содержит множитель $7$, который не раскладывается на $2$ и $5$ — значит эта дробь вообще не переводится в конечную десятичную. Тут выбор один — обыкновенные дроби.

Есть и ещё один нюанс: важно смотреть не только на текущее действие, но и на то, какое действие идёт следующим. Если после вычитания предстоит делить результат на $0{,}1$ — удобнее остаться в десятичных дробях. А если следующим действием идёт умножение на обыкновенную дробь — выгоднее сразу перевести всё в обыкновенные дроби, чтобы не переводить туда-обратно.

Свойства сложения и умножения экономят действия

Прежде чем считать «в лоб», полезно проанализировать пример — иногда свойства сложения и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное), уже известные тебе, позволяют заметно сократить вычисления.

Здесь мы вынесли общий множитель $0{,}75$ за скобки по распределительному свойству — вместо двух умножений и сложения осталось одно сложение внутри скобок и одно умножение. Точно так же в более сложных выражениях с дробями бывает выгодно сначала сгруппировать слагаемые так, чтобы получились «круглые» суммы (переместительное и сочетательное свойства), а уже потом искать общий множитель для сокращения дроби.

Задачи на совместную работу и на движение навстречу

Совместные действия с дробями обеих форм особенно часто нужны в текстовых задачах — на совместную работу и на встречное движение. В таких задачах числа тоже смешивают обыкновенные и десятичные дроби, проценты и время.

Открой вкладку «Задачи» в интерактиве справа — там разобраны по шагам оба типа задач, с теми самыми совместными действиями дробей.

Итог

• Дроби разных видов в одном примере всегда приводят к одному виду — десятичному или обыкновенному.
• Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, только если её знаменатель (в несократимом виде) раскладывается лишь на множители $2$ и $5$.
• Выбор вида зависит от удобства вычислений — учитывай и следующее действие тоже.
• Переместительное, сочетательное и распределительное свойства помогают упростить вычисления ещё до того, как считать «по действиям».
• В задачах на совместную работу и встречное движение работают формулы $\tfrac{1}{t_1}+\tfrac{1}{t_2}$ и $v_1+v_2$.