Каждый, кто хоть раз плавал на лодке, знает: плыть вниз по реке — по течению — гораздо
легче, чем вверх, против течения. Дело в том, что течение реки либо помогает
двигаться, добавляя скорости, либо, наоборот, мешает — уменьшает её.
Скорость самого объекта (лодки, катера, пловца) в стоячей воде — без течения — называют
собственной скоростью. Скорость, с которой течёт сама река, показывает,
как далеко она относит за единицу времени любой предмет — щепку, плот, лодку.
Обозначения. $v_{соб.}$ — собственная скорость объекта (скорость в
стоячей воде); $v_{теч.}$ — скорость течения реки; $v_{по\,теч.}$ — скорость объекта
по течению; $v_{пр.\,теч.}$ — скорость объекта против течения. Тогда:
$$v_{по\,теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$$
$$v_{пр.\,теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$$
💡 Из жизни: если собственная скорость
лодки $5$ км/ч, а скорость течения реки $2$ км/ч, то по течению лодка плывёт со скоростью
$5+2=7$ км/ч, а против течения — со скоростью $5-2=3$ км/ч. Открой вкладку
«Река и лодка» справа и подвигай ползунки — посмотри, как это работает для любых скоростей.
Обратная задача: узнаём v(соб.) и v(теч.)
А что если, наоборот, известны скорости по течению и против течения, а собственную
скорость и скорость течения нужно найти? Сложим обе формулы:
$$v_{по\,теч.} + v_{пр.\,теч.} = (v_{соб.}+v_{теч.}) + (v_{соб.}-v_{теч.}) = 2v_{соб.}$$
Значит, собственная скорость равна полусумме скоростей по течению и
против течения:
$$v_{соб.} = (v_{по\,теч.} + v_{пр.\,теч.}) : 2$$
А скорость течения реки — полуразности тех же скоростей:
$$v_{теч.} = (v_{по\,теч.} - v_{пр.\,теч.}) : 2$$
📐 Разберём на примере — открой вкладку
«Обратная задача» справа: там пошагово решена классическая задача про катер.
Задача про катер
Условие. Катер по течению реки прошёл $87{,}5$ км за $5$ ч, а против
течения то же самое расстояние он прошёл за $7$ ч. Чему равна собственная скорость катера
и скорость течения реки?
🧮 Показать решение по шагам — все четыре
действия разобраны во вкладке «Обратная задача» справа.
Идея решения простая: сначала по расстоянию и времени находим саму скорость по течению
и против течения (расстояние делим на время), а дальше применяем уже знакомые формулы
полусуммы и полуразности.
Более сложные задачи
В более сложных задачах на движение по реке часто приходится комбинировать формулы
течения с уравнениями. Например: собственная скорость лодки в $4$ раза больше скорости
течения реки. Против течения она прошла $10{,}8$ км за $1{,}5$ ч. Найти собственную
скорость лодки и скорость по течению.
1
Скорость против течения: $10{,}8 : 1{,}5 = 7{,}2$ км/ч.
2
Пусть скорость течения — $x$ км/ч, тогда собственная скорость — $4x$ км/ч.
Против течения: $4x - x = 7{,}2$, то есть $3x = 7{,}2$, откуда $x = 2{,}4$.
3
Значит, $v_{теч.} = 2{,}4$ км/ч, $v_{соб.} = 4 \cdot 2{,}4 = 9{,}6$ км/ч, а
скорость по течению: $9{,}6 + 2{,}4 = 12$ км/ч.
Здесь пригодилось умение составлять и решать уравнение — тот же приём, что и в задачах
других типов на части и на неизвестное число.
⚠️ Частая ошибка. В обратной задаче ученики иногда путают, что складывать,
а что вычитать: складывают скорости по течению и против течения — получают удвоенную
собственную скорость, а не саму собственную скорость, и забывают разделить результат
пополам. Другая частая ошибка — не проверить ответ здравым смыслом: скорость течения
не может быть больше собственной скорости лодки, иначе лодка вообще не
сможет плыть против течения — её будет сносить назад.