В жизни постоянно слышишь слово «средний»: средний доход, средний балл, средний рост,
средняя температура. Например, в разные месяцы человек зарабатывает по-разному, и чтобы
понять, много это или мало, обычно складывают весь заработок за год и делят на 12 —
получается среднемесячный доход. Точно так же общий уровень знаний
класса оценивают средним баллом: складывают все оценки учеников и делят
на их число.
💡 Открой вкладку «Три числа» справа и
подвигай ползунки — посмотри, как считается среднее для любых трёх чисел.
Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называется
результат деления суммы этих чисел на число слагаемых. Другими словами, среднее
арифметическое чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равно
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_n) : n$$
Пример: среднее трёх чисел
Задача. Найти среднее арифметическое чисел $2{,}7$; $8{,}215$ и $4{,}109$.
1
Складываем все числа: $8{,}215 + 2{,}7 + 4{,}109 = 15{,}024$.
2
Делим сумму на количество слагаемых — их три: $15{,}024 : 3 = 5{,}008$.
Ответ: $5{,}008$.
📊 Посмотреть на графике — вкладка
«Три числа» справа уже настроена на эти значения.
Средний балл — какой класс написал лучше
Задача. Учащиеся 6 «А» класса за контрольную получили 4 пятёрки,
18 четвёрок и 3 тройки, а учащиеся 6 «Б» класса за ту же контрольную — 8 пятёрок,
12 четвёрок, 3 тройки и 1 двойку. Какой класс написал контрольную лучше?
Сравниваем: $4{,}04 < 4{,}125$, значит с контрольной лучше справился 6 «Б».
Оба класса справились неплохо, а разница небольшая — 6 «А» более ровный (результаты
учеников близки к среднему), а 6 «Б» выигрывает за счёт группы «сильных» учеников.
Средняя скорость движения
До сих пор в задачах на движение объект двигался с постоянной скоростью — равномерно.
Но в жизни так бывает редко: автобус то разгоняется, то тормозит, то стоит на
остановке. Средней скоростью на маршруте называют частное от деления
всего пройденного пути на всё затраченное время:
$$v_{ср.} = S_{весь\ путь} : t_{всё\ время}$$
Если бы объект двигался равномерно со средней скоростью, он прошёл бы весь маршрут
ровно за то же время, что и на самом деле.
Задача. Автобус первые 2 ч ехал со скоростью $56{,}6$ км/ч, а следующие
3 ч — со скоростью $48{,}1$ км/ч. С какой средней скоростью он ехал?
1
Весь путь: $56{,}6 \cdot 2 + 48{,}1 \cdot 3 = 257{,}5$ км.
2
Всё время: $2 + 3 = 5$ ч.
3
Средняя скорость: $257{,}5 : 5 = 51{,}5$ км/ч.
🚌 Открой вкладку «Ловушка скорости» справа —
там та же задача с ползунками: подвигай время и скорость на каждом участке.
⚠️ Частая ошибка. Многие пытаются найти среднюю скорость, просто
складывая скорости на участках и деля пополам: $(56{,}6 + 48{,}1) : 2 = 52{,}35$ км/ч —
и получают неверный ответ. Так можно делать только если объект
двигался на каждом участке одинаковое время. Если время разное — как в этой
задаче (2 ч и 3 ч) — обязательно считать через общее расстояние, делённое на
общее время, а не через среднее арифметическое самих скоростей. (Похожая
ловушка — только наоборот, для одинакового расстояния при разном времени — разбирается
в упражнении про среднее гармоническое: там усреднять скорости напрямую тоже
нельзя.)
🧠 Запомни: среднее арифметическое чисел $a_1, \dots, a_n$ — это
$(a_1 + \dots + a_n) : n$. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а
не среднее арифметическое самих скоростей, если время на участках
разное.