Математика · 6 класс · Глава 2, §2, п.1

Понятие о проценте

Откуда берутся проценты

Проценты постоянно встречаются в жизни: «в выборах приняли участие 56,3% избирателей», «рейтинг победителя конкурса — 74%», «банк начисляет 8% годовых», «молоко содержит 1,5% жира», «ткань — 100% хлопок». Чтобы понимать такие сообщения, нужно точно знать, что такое процент.

Слово «процент» происходит от латинского pro centum — «от сотни», «на сто». Например, фраза «7% участников лотереи получили призы» означает: если разбить всех участников на 100 равных групп, призы получили 7 таких групп — то есть 7 человек из каждых 100.

Определение. Одним процентом от величины называется одна сотая часть этой величины. Обозначается знаком %. Таким образом, $$1\% = 0{,}01 = \frac{1}{100}\text{ часть величины.}$$

💡 Открой «Сетку 10×10» справа и подвигай ползунок — посмотри, как процент — это просто число закрашенных клеток из ровно 100.

Примеры: 1% от разных величин

1% от любой величины находится делением на 100:

1
1% от зарплаты 2300 р. — это $2300 : 100 = 23$ рубля.
2
1% от населения России (примерно 145 млн человек) — это $1{,}45$ млн человек.
3
3%-я концентрация раствора соли — это 3 г соли на каждые 100 г раствора.

Вся величина целиком составляет $100\%$ от самой себя. Поэтому надпись «хлопок 100%» означает, что ткань — из чистого хлопка, а «стопроцентная успеваемость» — что в классе нет неуспевающих учеников.

Проценты и десятичные дроби

Любое число процентов можно записать десятичной дробью. Чтобы выразить проценты числом, число процентов делят на 100 (то есть переносят запятую на два знака влево):

$$58\% = \dfrac{58}{100} = 0{,}58$$ $$4{,}5\% = \dfrac{4{,}5}{100} = 0{,}045$$ $$200\% = \dfrac{200}{100} = 2$$

Для обратного перехода — чтобы выразить число в процентах — его умножают на 100 (переносят запятую на два знака вправо):

$0{,}58 = (0{,}58 \cdot 100)\% = 58\%$;   $0{,}045 = 4{,}5\%$.

📊 Посмотреть 58% на сетке — вкладка «Сетка 10×10» справа уже настроена на это значение.

Полезно сразу помнить связь простых процентов и дробей:

Дробь$\tfrac12$$\tfrac14$$\tfrac34$$\tfrac15$$\tfrac35$
Процент50%25%75%20%60%

Увеличить/уменьшить на проценты — это во сколько раз

Сообщения «зарплату повысили на 50%» и «зарплату повысили в 1,5 раза» говорят об одном и том же. Увеличить величину в 2 раза — значит увеличить её на 100%; увеличить в 3 раза — значит увеличить на 200%; уменьшить в 2 раза — значит уменьшить на 50%.

1
Увеличить на 300% — значит прибавить ещё 3 таких же величины к исходной, то есть всего станет $1 + 3 = 4$ величины — увеличение в 4 раза.
2
Уменьшить на 80% — значит оставить только $100\% - 80\% = 20\% = \tfrac15$ от исходного — уменьшение в 5 раз.

🔁 Открой «Во сколько раз» справа — подвигай ползунок процента и смотри, как меняется множитель.

⚠️ Частая ошибка. Треть учеников школы (то есть $\tfrac13$) — это не 30%, а примерно $33{,}3\%$: $\tfrac13 = 1 : 3 = 0{,}333\ldots \approx 33{,}3\%$. Многие путают «удобное» круглое число 30% с настоящей третью только потому, что числа похожи. Так же неверно считать, что «две трети идут в производство, значит 30% остаётся на социальную сферу» — на самом деле остаётся $100\% - 66{,}7\% \approx 33{,}3\%$, а не 30%.

🧠 Запомни: $1\%$ — это одна сотая часть величины:

$$1\% = 0{,}01 = \dfrac{1}{100}.$$

Чтобы выразить проценты числом — делим на 100; чтобы выразить число в процентах — умножаем на 100. Увеличить/уменьшить на $N\%$ — не то же самое, что увеличить/уменьшить в $N$ раз: нужно считать множитель

$$1 + \dfrac{N}{100}$$

(или долю от целого, если уменьшаем).

← Глава 2, §1 · п.3 Среднее арифметическое Все темы Глава 2, §2 · п.2 → Задачи на проценты

Вся сетка — 100 клеток. Закрашенные клетки — это и есть процент

Проценты45
45% = 45/100
= 0,45

Изменение «на N%» — это изменение в какое-то число раз

Изменение, %+50
1 + 50/100
Стало в 1,5 раза больше
Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится