Математика · 6 класс · Глава 2, §2, п.3

Простой процентный рост

Пеня за просрочку

Когда человек не вносит вовремя плату за квартиру, на него налагается штраф — пеня (от латинского poena — наказание). Пусть пеня составляет $0{,}1\%$ от суммы квартплаты за каждый день просрочки. Тогда за $19$ дней просрочки набежит $1{,}9\%$ от суммы, и вместе с $1\,000$ р. квартплаты нужно доплатить $1\,000 \cdot 0{,}019 = 19$ р., а всего — $1\,019$ р.

Пусть $S$ — ежемесячная квартплата, $p\%$ — пеня за каждый день просрочки, $n$ — число просроченных дней. Тогда за $n$ дней пеня составит $\tfrac{pn}{100}$ от $S$, а вся сумма к оплате $S_n$ равна:

Формула простого процентного роста. $$S_n = \left(1 + \frac{pn}{100}\right)S$$

Задача. Квартплата — $1\,400$ р., пеня — $0{,}1\%$ в день. Сколько заплатить при просрочке $5$, $30$ и $120$ дней?

1
$5$ дней: $\left(1 + \tfrac{0{,}1 \cdot 5}{100}\right) \cdot 1\,400 = 1{,}005 \cdot 1\,400 = 1\,407$ р.
2
$30$ дней: $\left(1 + \tfrac{0{,}1 \cdot 30}{100}\right) \cdot 1\,400 = 1{,}03 \cdot 1\,400 = 1\,442$ р.
3
$120$ дней: $\left(1 + \tfrac{0{,}1 \cdot 120}{100}\right) \cdot 1\,400 = 1{,}12 \cdot 1\,400 = 1\,568$ р.

Одна и та же формула — разный смысл букв

Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц доход в размере $p\%$ от внесённой суммы. Если клиент внёс сумму $S$, то через $n$ месяцев на счету будет всё то же $S_n = \left(1 + \tfrac{pn}{100}\right)S$.

Буквы в двух примерах означают разное: в первом $n$ — число дней, а $S$ — квартплата; во втором $n$ — число месяцев, а $S$ — сумма вклада. Но формула одна — она описывает любую ситуацию, когда величина растёт на постоянное число процентов от исходной суммы за каждый одинаковый период времени. Поэтому она и называется формулой простого процентного роста.

📈 Переключи график справа на «Рост» и подвигай ползунки — посмотри, как линия идёт вверх с каждым периодом $n$.

Убыль: амортизация

Величина может не только расти, но и убывать на постоянный процент от исходной суммы — например, дорогая вещь со временем дешевеет. Такое уменьшение стоимости называют амортизацией. Формула получается похожая, только со знаком минус:

$$S_n = \left(1 - \frac{pn}{100}\right)S$$

Рост здесь «отрицательный», но формулу всё равно называют формулой простого процентного роста.

Задача. Новый компьютер купили за $12\,000$ р. Каждый год его амортизация составляет $20\%$. Сколько будет стоить компьютер через $2$ года?

1
Подставляем $S = 12\,000$, $p = 20$, $n = 2$ в формулу убыли.
2
$\left(1 - \tfrac{20 \cdot 2}{100}\right) \cdot 12\,000 = 0{,}6 \cdot 12\,000 = 7\,200$ р.

📉 Переключи график справа на «Убыль» — линия пойдёт вниз, и видно, что при большом $n$ она может дойти до нуля.

Пример: находим процентную ставку

Задача. При какой месячной процентной ставке вклад в $1\,000$ р. увеличится за год (за $12$ месяцев) до $1\,060$ р.?

1
Подставим в формулу $S = 1\,000$, $S_n = 1\,060$, $n = 12$: получаем уравнение $1\,060 = \left(1 + \tfrac{12p}{100}\right) \cdot 1\,000$.
2
Делим обе части на $1\,000$: $\ 1 + \tfrac{12p}{100} = 1{,}06$.
3
$\tfrac{12p}{100} = 0{,}06 \ \Rightarrow\ 12p = 6 \ \Rightarrow\ p = 0{,}5$.

Ответ: ставка должна быть $0{,}5\%$ в месяц.

⚠️ Частая ошибка. В формуле простого процентного роста каждый следующий процент считается от одной и той же исходной суммы $S$, а не от суммы, получившейся на предыдущем шаге. Например, при пене $0{,}1\%$ в день за $30$ дней набегает не «$0{,}1\%$ от вчерашней суммы, потом ещё $0{,}1\%$ от неё же» — весь прирост считают сразу как $\tfrac{0{,}1 \cdot 30}{100} = 3\%$ от исходной квартплаты. Если бы процент каждый раз брался от уже увеличенной суммы, это была бы другая формула — сложных процентов (её проходят позже).
🧠 Запомни: формула простого процентного роста — $$S_n = \left(1 \pm \frac{pn}{100}\right)S,$$ где $S$ — исходная величина, $p\%$ — процент изменения за один период, $n$ — число периодов. Знак «$+$» — величина растёт, знак «$-$» — убывает. Процент всегда считают от исходной суммы $S$, а не от суммы на предыдущем шаге.
← Глава 2, §2 · п.2 Задачи на проценты Все темы Глава 2, §2 · п.4 → Сложный процентный рост

Величина растёт на p% от исходной суммы каждый период

Исходная сумма S1000
Процент p за период10
Число периодов n6
Sₙ = (1 + p·n/100)·S
S₆ = (1 + 10·6/100) · 1000 = 1600
Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится