В банках есть срочные вклады — деньги, которые нельзя забрать раньше оговорённого срока
(например, года). За первый год банк начисляет доход, скажем, $10\%$ от вложенной суммы.
Если вкладчик не забирает деньги и проценты, а оставляет их дальше лежать на счёте, то
в следующем году доход считают уже не от первоначальной суммы, а от увеличенной —
с учётом прошлогодних процентов.
Сложные проценты. Проценты, которые начисляются не на исходную сумму,
а на сумму, уже увеличенную процентами за предыдущие периоды — «проценты на проценты».
Разберём на примере: вкладчик положил на срочный счёт $1\,000$ р. под $10\%$ годовых
и три года не трогал счёт.
1
Год 1: $10\%$ от $1\,000$ р. — это $100$ р., на счёте становится $1\,000 + 100 = 1\,100$ р.
2
Год 2: $10\%$ от новой суммы $1\,100$ р. — это $110$ р., на счёте
$1\,100 + 110 = 1\,210$ р.
3
Год 3: $10\%$ от $1\,210$ р. — это $121$ р., на счёте $1\,210 + 121 = 1\,331$ р.
Заметь: каждый год сумма просто умножается на $1{,}1$. Значит, за $3$ года она умножится
на $1{,}1 \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}1^3$, и результат тот же: $1{,}1^3 \cdot 1\,000 = 1\,331$ р.
📈 Посмотри на график справа — увидишь,
как быстро растёт кривая сложных процентов.
Формула сложного процентного роста
Выведем формулу в общем виде. Пусть вклад составляет $S$ р., банк начисляет $p\%$ годовых,
а сумма на счёте через $n$ лет равна $S_n$. За год сумма увеличивается в
$\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)$ раз:
$1{,}1^4 = 1{,}4641$, значит $1{,}4641 \cdot 2\,000 = 2\,928{,}2$ р.
Ответ: через $4$ года на счёте будет $2\,928{,}2$ р.
Сложные проценты растут куда быстрее простых
В прошлой теме формула простого процентного роста была
$S_n = \left(1 + \tfrac{pn}{100}\right)S$ — там процент каждый раз считают
от исходной суммы $S$. Здесь же, при сложном росте, процент каждый раз
считают от суммы последнего начисления — и потому итог получается больше.
Задача. Банк начисляет $8\%$ годовых, вложено $5\,000$ р. Сколько будет
на счёте через $5$ лет: а) при простых процентах; б) при сложных?
Сложные: $\left(1+\tfrac{8}{100}\right)^5\cdot 5\,000 \approx 1{,}46933\cdot 5\,000 \approx 7\,346{,}64$ р.
Разница почти $347$ р. — и чем больше лет, тем сильнее сложные проценты обгоняют простые.
⚖️ Переключи график справа на «Сравнение» —
увидишь обе кривые рядом.
⚠️ Частая ошибка. При сложном росте нельзя просто сложить проценты
за все периоды. Например, за $3$ года под $10\%$ годовых кажется, что накопится
ровно $10\% \cdot 3 = 30\%$, то есть $1\,000 \cdot 1{,}3 = 1\,300$ р. Но это формула
простого роста! На самом деле при сложных процентах каждый год множитель
$1{,}1$ умножается сам на себя: $1{,}1^3 = 1{,}331$, то есть накопится $33{,}1\%$,
и на счёте будет $1\,331$ р., а не $1\,300$ р.
🧠 Запомни: формула сложного процентного роста —
$$S_n = \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n} S,$$
где $S$ — исходная сумма, $p\%$ — процент за один период, $n$ — число периодов.
Показатель степени $n$ — это и есть «проценты на проценты»: каждый период рост считают
от уже увеличенной суммы. При уменьшении величины на $p\%$ каждый период знак «$+$»
меняют на «$-$». Формула работает не только для вкладов, но и для любой величины,
которая каждый период меняется на одно и то же число процентов от последнего значения.