Математика · 6 класс · Глава 2, §3, п.1

Понятие отношения

Два способа сравнить величины

Гиря массой $6$ кг и гиря массой $2$ кг — как их сравнить? Можно сказать: первая тяжелее второй на $4$ кг ($6 - 2 = 4$). А можно сказать: первая тяжелее второй в $3$ раза ($6 : 2 = 3$). Это два разных, но одинаково законных способа сравнения.

Разностное сравнение отвечает на вопрос «На сколько больше (меньше)?» — находится разностью $a - b$.
Кратное сравнение отвечает на вопрос «Во сколько раз больше (меньше)?» — находится частным $a : b$.

Разностное сравнение показывает, на сколько величины отличаются друг от друга, а кратное даёт качественную, относительную оценку этого отличия. 🟢 Посмотри разностное сравнение справа и 🟠 кратное сравнение — переключай режимы.

Пример: зарплата увеличилась на $1\,000$ р. — много это или мало? Если раньше зарплата была $4\,000$ р., то новая — $5\,000$ р., и она выросла в $5\,000 : 4\,000 = 1{,}25$ раза, то есть на четверть — прибавка существенная. А если старая зарплата была $20\,000$ р., то новая $21\,000$ р. выросла лишь в $21\,000 : 20\,000 = 1{,}05$ раза — прибавка почти незаметна. Разностная прибавка одна и та же ($1\,000$ р.), а кратная — совсем разная!

Что такое отношение

Отношением двух чисел $a$ и $b$ (где $b \ne 0$) называют их частное $a : b$, или $\tfrac{a}{b}$.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго:

  • если $a > b$, отношение $a:b$ показывает, во сколько раз $a$ больше $b$;
  • если $a \le b$, отношение $a:b$ показывает, какую часть $a$ составляет от $b$.

Например, отношение $8$ к $3$ равно $\tfrac{8}{3}$ и показывает, что $8$ больше $3$ в $\tfrac{8}{3}$ раза. А отношение $3$ к $8$ равно $\tfrac{3}{8}$ и показывает, какую часть $3$ составляет от $8$. 🔁 Загляни во вкладку «Взаимно обратные» — увидишь эту пару рядом.

💡 Из жизни: отношения $8:3$ и $3:8$, как и дроби $\tfrac{8}{3}$ и $\tfrac{3}{8}$, называют взаимно обратными — числитель и знаменатель меняются местами.

Для отношения, как и для любого частного, справедливы все свойства деления. В частности, отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. На этом основано упрощение отношений:

$$25 : 20 = (25:5) : (20:5) = 5 : 4$$

Справедливо и «перекрёстное» правило: $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} \iff ad = bc$ (при $b \ne 0$, $d \ne 0$).

Отношение величин и проценты

Чтобы найти отношение одноимённых величин (длин, масс и т. д.), их сначала нужно выразить в одной и той же единице измерения. Например, чтобы найти отношение $50$ см к $1$ м, переведём обе величины в сантиметры: $50$ см и $100$ см, тогда

$$50 : 100 = \frac{1}{2}$$

⚠️ Частая ошибка. Если не перевести величины в одну единицу измерения, получится неверный результат: $50$ (см) $ : 1$ (м) $= 50$ — как будто $50$ см больше $1$ м в $50$ раз, хотя на самом деле $50$ см — это лишь половина метра!

Отношение часто удобно выражать в процентах — для этого частное умножают на $100$.

Процентное отношение числа $a$ к числу $b$ — это отношение $a:b$, выраженное в процентах: $$\frac{a}{b}\cdot 100\%$$ Оно показывает, сколько процентов число $a$ составляет от числа $b$.

Так, увеличение зарплаты в $1{,}25$ раза означает, что новая зарплата составила $125\%$ старой, то есть выросла на $25\%$. 💯 Посмотри вкладку «В процентах» справа — там то же самое отношение показано как доля от $100\%$.

Отношение величин разных наименований

Отношение одноимённых величин (масса к массе, длина к длине) — это просто число. А вот отношение величин разных наименований образует новую величину. Так, скорость — это отношение расстояния ко времени, цена — отношение стоимости к количеству товара, производительность — отношение объёма работы ко времени, плотность — отношение массы к объёму:

$$v = \frac{s}{t}, \quad a = \frac{C}{n}, \quad w = \frac{A}{t}, \quad \rho = \frac{m}{V}$$

1
Каждая такая величина — значение, приходящееся на единицу величины в знаменателе: скорость — путь за единицу времени, цена — стоимость одной единицы товара.
2
Поэтому единицы измерения этих величин — тоже дроби: км/ч, м/с — для скорости; р./кг — для цены; шт./мин — для производительности; кг/дм³ — для плотности.

В разговорной речи для цены и производительности такие обозначения обычно не используют, а говорят словами: «$8$ страниц в час», «$5$ рублей за килограмм».

🧠 Запомни: отношение $a:b$ — это частное $a$ на $b$ ($b \ne 0$). Если $a > b$ — показывает, во сколько раз $a$ больше $b$; если $a \le b$ — какую часть $a$ составляет от $b$. Отношение не меняется при умножении/делении обоих членов на одно и то же число. Отношения $a:b$ и $b:a$ — взаимно обратные. Процентное отношение — это $\tfrac{a}{b}\cdot 100\%$. Отношение разноимённых величин образует новую величину (скорость, цена, плотность и т. д.).
← Глава 2, §2 · п.4 Сложный процентный рост Все темы Глава 2, §3 · п.2 → Масштаб изображения

Двигай ползунки — сравни массу двух гирь двумя способами

Гиря A6 кг
Гиря B2 кг
6 − 2 = 4 кг
Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится