В прошлом пункте мы разобрали разностное и кратное сравнение величин. Сейчас — ещё один
важный пример отношения, с которым каждый день сталкивается любой человек: масштаб.
Человек часто пользуется не самими предметами, а их изображениями — чертежами, фотографиями,
географическими картами. На таких изображениях все расстояния показаны в уменьшенном
или увеличенном виде. Нас интересует самый важный для практики случай: когда длины всех
отрезков изменяются в одно и то же число раз — в одном и том же отношении.
💡 Из жизни: расстояние от Москвы до Киева на карте — всего несколько
сантиметров, а на самом деле это сотни километров. Но карта «правдива»: если одно расстояние
на карте вдвое длиннее другого, то и в реальности оно вдвое длиннее. Это и обеспечивает масштаб.
Определение масштаба
Масштабом изображения называют отношение длины отрезка на изображении
к его реальной длине (в одних и тех же единицах измерения).
На географической карте масштаб всегда меньше единицы — $1:2$, $1:10$, $1:100$ и т. д.:
ведь расстояние на карте значительно короче настоящего. А вот на технических чертежах
масштаб нередко больше $1$ — если нужно изобразить крупно маленькую деталь (например,
деталь наручных часов или клетку растения). Тогда все размеры на чертеже увеличиваются,
и масштаб получается с увеличением: $2:1$, $10:1$, $100:1$ и т. д.
Масштаб карты чаще всего записывают в виде частного с делимым $1$: например, $1:1\,000\,000$.
Это значит, что отрезку в $1$ см на карте соответствует расстояние на местности
$1\,000\,000$ см $= 10$ км.
🗺️ Посмотри этот масштаб справа —
передвинь ползунок и убедись, во сколько раз отличаются длины.
💡 Из жизни: масштаб может задаваться и дробью с числителем не $1$,
например $\tfrac{3}{50\,000}$ — тогда отрезок в $3$ см изображает $50\,000$ см $= 500$ м.
Смысл масштаба от этого не меняется.
От карты — к местности
Знание масштаба позволяет, измерив расстояние на карте, вычислить настоящее расстояние
на местности. Если масштаб карты равен $1:M$, то реальное расстояние в $M$ раз больше,
чем на карте — значит, длину на карте нужно умножить на $M$.
📏 Включи режим «Карта → местность» справа
и подвигай ползунок длины на карте.
💡 Задача 1. На карте с масштабом $1:150\,000$ расстояние между деревней
и станцией равно $2{,}8$ см. Найти расстояние между ними на местности.
1
Масштаб $1:150\,000$ означает, что расстояние на местности в $150\,000$ раз больше,
чем на карте.
Так как $1$ км $= 100\,000$ см, то $420\,000$ см $= 4{,}2$ км.
Ответ: расстояние от деревни до станции на местности равно $4{,}2$ км.
От местности — к карте
Обратная задача — нахождение расстояния на карте по расстоянию на местности — решается
обратным действием, то есть делением.
📐 Включи режим «Местность → карта» справа
и подвигай ползунок реального расстояния.
💡 Задача 2. Расстояние между двумя городами равно $560$ км. Найти длину
отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе $1:4\,000\,000$.
1
Расстояние на карте в $4\,000\,000$ раз меньше, чем на местности — значит, $560$ км
нужно уменьшить в $4\,000\,000$ раз.
2
Сначала выразим расстояние в сантиметрах: $560$ км $= 56\,000\,000$ см.
3
Теперь разделим: $56\,000\,000 : 4\,000\,000 = 14$ (см).
Ответ: расстояние между городами на карте — $14$ см.
⚠️ Частая ошибка. Ученики путают, что делать — умножать или делить,
а ещё забывают переводить единицы измерения. Если не перевести $560$ км в сантиметры,
а сразу разделить $560 : 4\,000\,000$, получится смехотворно малое число вместо $14$ см.
Правило простое: масштаб $1:M$ — местность всегда в $M$ раз больше карты, поэтому
от карты к местности — умножаем на $M$, а от местности к карте — делим на $M$, и единицы
измерения должны совпадать до вычисления.
🧠 Запомни: масштаб изображения — это отношение длины на изображении
к реальной длине (в одних единицах). Масштаб карты обычно меньше $1$ (например, $1:1\,000\,000$),
масштаб увеличивающего чертежа — больше $1$ (например, $10:1$). Если масштаб $1:M$, то
реальное расстояние $=$ расстояние на изображении $\cdot\, M$, а расстояние на изображении
$=$ реальное расстояние $:\, M$.