Математика · 6 класс · Глава 2, §4, п.3

Графики прямой и обратной пропорциональности

Три способа задать зависимость

Зависимость между величинами можно задать по-разному: таблицей (записываем результаты измерений), графиком (наглядно показываем зависимость на чертеже) и формулой (эту запись называют аналитическим способом, потому что по формуле можно исследовать свойства зависимости).

Рассмотрим три разные ситуации: автомобиль едет со скоростью 2 км/мин, тесьму покупают по цене 2 р./дм, принтер печатает со скоростью 2 стр./мин. Все три зависимости задаются одинаковыми формулами: $$s = 2t, \qquad C = 2n, \qquad A = 2t.$$ Если составить таблицы и построить графики для всех трёх ситуаций — они окажутся совершенно одинаковыми, только буквы на осях будут означать разные вещи.

Отвлечёмся от смысла величин и заменим их буквами $x$ и $y$. Получим общую формулу $y = 2x$ — её называют графиком прямо пропорциональной зависимости.

$x$12345
$y$246810
Важно. Формула $y = 2x$ — частный случай общей формулы $y = kx$ при $k = 2$. Меняя коэффициент $k$, мы получаем разные прямые, но все они устроены одинаково.

Один график сразу отвечает на вопросы для всех трёх ситуаций:

1
На графике $y = 2x$ находим точку, у которой $x = 3{,}5$.
2
Ей соответствует значение $y = 7$.
3
Значит: за 3,5 мин автомобиль проедет 7 км, тесьма длиной 3,5 дм стоит 7 р., а принтер за 3,5 мин распечатает 7 страниц — сразу три ответа по одному графику.

Как выглядит график прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности — $y = kx$. Все такие графики — прямые линии, проходящие через одну и ту же точку: начало координат $(0;\,0)$. Это понятно из формулы: при $x = 0$ всегда получается $y = k \cdot 0 = 0$.

Определение. График прямой пропорциональности $y = kx$ — прямая линия, проходящая через начало координат.

Построим на одном чертеже графики $y = 0{,}5x$, $y = x$, $y = 2x$ и $y = 4x$ и сравним их расположение.

💡 Из жизни: представь график «расстояние — время» для нескольких велосипедистов. Чем быстрее едет велосипедист, тем больше коэффициент $k$ (скорость) и тем круче поднимается его линия на графике — за то же время он проезжает больше.
🧠 Вывод: чем больше коэффициент $k$, тем круче идёт прямая вверх. При одинаковом $x$ большему $k$ соответствует больший $y$.

Как выглядит график обратной пропорциональности

Построим график обратной пропорциональности при $k = 12$ — он задаётся формулой $y = 12 : x$. Составим таблицу значений:

$x$12346812
$y$1264321,51

Если отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией, получится не прямая, а изогнутая кривая — гипербола. Прямо из формулы видно: при $x > 0$ значение $y = k : x$ никогда не станет нулём (сколько ни дели $k$ на большое число — ноль не получится) и никогда не определено при $x = 0$ (на ноль делить нельзя). Поэтому кривая приближается к осям, но никогда их не касается.

Определение. График обратной пропорциональности $y = k : x$ — плавная кривая (гипербола), которая не пересекает оси координат.
💡 Из жизни: расстояние между двумя посёлками — 12 км. По графику $y = 12 : x$ можно сразу узнать время в пути при любой скорости:
1
При скорости $x = 2{,}4$ км/ч весь путь займёт $y = 5$ ч.
2
При скорости $x = 8$ км/ч — уже $y = 1{,}5$ ч.
3
А при скорости $x = 12$ км/ч — всего $y = 1$ ч.

Сравним семейство кривых $y = 3 : x$, $y = 6 : x$, $y = 12 : x$ и $y = 24 : x$ — все они похожи друг на друга.

🧠 Вывод: чем больше коэффициент $k$, тем дальше кривая отстоит от начала координат.

Сравнение и типичная ошибка

При разных значениях $k$ графики прямой пропорциональности всегда получаются прямыми линиями, а графики обратной пропорциональности — всегда плавными кривыми одной и той же формы. Это и есть главное отличие двух видов зависимости: не только в формуле ($y = kx$ или $y = k{:}x$), но и в форме графика.

⚠️ Частая ошибка. Отметив точки таблицы для обратной пропорциональности, некоторые соединяют их отрезками прямых — получается ломаная линия. Это неверно: график $y = k{:}x$ — гладкая кривая без изломов, точки нужно соединять плавной линией.
🧠 Запомни: прямая пропорциональность — всегда прямая линия через $(0;0)$; обратная пропорциональность — всегда гладкая кривая, не касающаяся осей. По одному графику можно сразу прочитать ответ для всех практических ситуаций с той же зависимостью — координаты одной точки $(x;\,y)$ дают ответ на все вопросы разом.
← Глава 2, §4 · п.2 Прямая и обратная пропорциональные зависимости Все темы Глава 2, §4 · п.4 → Решение задач с помощью пропорций

Тяни оранжевую точку по оси x — читай значения сразу у всех графиков

y = k · x
x = 3
Наведи курсор на подчёркнутые формулы в тексте слева