Почему пропорциональные величины образуют пропорцию
Если величины прямо пропорциональны, то есть связаны формулой $y = kx$, то из этой формулы
следует $k = \tfrac{y}{x}$. Значит, отношение $\tfrac{y}{x}$ для любой пары соответствующих значений — одно
и то же число $k$. Поэтому для двух разных пар значений:
Правило для прямой пропорциональности. Если величины прямо пропорциональны, то отношение
двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины (пары значений
встают в пропорцию «как есть», без перестановки).
Для обратно пропорциональных величин, связанных формулой $y = k{:}x$, получаем $k = xy$, то
есть $x_1y_1 = x_2y_2$. По перекрёстному правилу это равносильно:
Правило для обратной пропорциональности. Если величины обратно пропорциональны, то
отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений
другой величины — при составлении пропорции одну из пар значений нужно «перевернуть».
💡 Из жизни: расход бензина растёт вместе с пройденным путём — это прямая
пропорциональность, пары значений ставим прямо. А время в пути падает, когда растёт скорость — это
обратная пропорциональность, и одну пару значений при составлении пропорции нужно перевернуть.
Алгоритм решения задач с помощью пропорций
Внимательно прочитать условие и вопрос задачи.
Установить вид зависимости — прямая или обратная пропорциональность.
🧠 Запомни: шаг 2 — самый важный. От того, прямая зависимость или обратная, зависит, как
именно нужно составлять пропорцию: «как есть» или с переворотом одной пары значений.
Пример 1. Прямая пропорциональность
Автомобиль на 56,8 км пути затратил 4,26 л бензина. Сколько литров
бензина потребуется, чтобы проехать 160 км при том же расходе на 1 км?
1
Пусть $x$ л — расход бензина на 160 км. Количество бензина пропорционально пройденному пути — это
прямая пропорциональность.
2
Составляем таблицу: 56,8 км — 4,26 л; 160 км — $x$ л. Записываем пропорцию «как есть»:
$\tfrac{56{,}8}{160} = \tfrac{4{,}26}{x}$.
3
По перекрёстному правилу: $56{,}8 \cdot x = 160 \cdot 4{,}26$, откуда $x = 12$.
🧠 Ответ: потребуется 12 л бензина.
Пример 2. Обратная пропорциональность
Велосипедист со скоростью 12,5 км/ч затратил на путь 0,7 ч. С какой
скоростью он должен ехать, чтобы преодолеть тот же путь за 0,5 ч?
1
Пусть $x$ км/ч — искомая скорость. При постоянном пути скорость и время связаны обратной
пропорциональностью: чем больше скорость, тем меньше время.
2
Таблица: 12,5 км/ч — 0,7 ч; $x$ км/ч — 0,5 ч. Так как зависимость обратная, одну пару значений
переворачиваем: $\tfrac{12{,}5}{x} = \tfrac{0{,}5}{0{,}7}$.
3
По перекрёстному правилу: $12{,}5 \cdot 0{,}7 = x \cdot 0{,}5$, откуда $x = 17{,}5$.
🧠 Ответ: велосипедист должен ехать со скоростью 17,5 км/ч.
Пример 3. Задачи на проценты — тоже пропорция
Число процентов пропорционально соответствующей части величины, поэтому все три типа задач на проценты
решаются одним и тем же способом — через пропорцию.
Цена сыра, равная 280 р., увеличилась на 15%. Какой стала новая цена
сыра?
1
Пусть $x$ р. — сумма, на которую повысилась цена. Вся цена (280 р.) — это 100%, а повышение — это
15%: зависимость прямая.
2
Таблица: 280 р. — 100%; $x$ р. — 15%. Пропорция «как есть»: $\tfrac{280}{x} = \tfrac{100}{15}$.
3
По перекрёстному правилу: $280 \cdot 15 = x \cdot 100$, откуда $x = 42$. Новая цена: $280 + 42 = 322$
(р.).
⚠️ Частая ошибка. В задачах на проценты часто забывают, что $x$ р. — это не сама новая
цена, а сумма повышения. После нахождения $x$ обязательно нужно ещё прибавить (или
вычесть) её из исходной цены — ответ на вопрос задачи получается не сразу после решения пропорции.
🧠 Запомни: способ пропорций «унифицирует» все три типа задач на проценты — находишь ли
число по проценту, процент по числу или само число, схема составления пропорции одна и та же.