Математика · 6 класс · Глава 2, §4, п.5

Пропорциональное деление

Разделить величину пропорционально числам

В жизни часто нужно разделить что-то не поровну, а справедливо — пропорционально вкладу каждого. Например, два предпринимателя вложили в проект 3 млн р. и 5 млн р. и получили 12 млн р. прибыли. Справедливо, чтобы прибыль делилась в том же отношении, что и вложения — $3 : 5$.

Определение. Разделить число (величину) $N$ пропорционально числам $n_1, n_2, \dots, n_k$ — значит найти такие части $a_1, a_2, \dots, a_k$, что их сумма равна $N$, а отношения частей равны отношениям данных чисел: $a_1 : a_2 : \dots : a_k = n_1 : n_2 : \dots : n_k$.

Обозначим искомые части $a$ и $b$. Так как $a : b = 3 : 5$, поменяем местами средние члены пропорции и обозначим общее отношение буквой $k$ — это и есть коэффициент пропорциональности (значение одной «доли»):

$$\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = k \quad\Longrightarrow\quad a = 3k,\ \ b = 5k.$$

Сумма частей равна всей величине, поэтому $k$ находится из одного уравнения:

$$3k + 5k = 12 \ \Longleftrightarrow\ 8k = 12 \ \Longleftrightarrow\ k = 1{,}5.$$

Значит, первый предприниматель получит $1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5$ млн р., а второй — $1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$ млн р.

💡 Из жизни: «доля» — как одна порция пиццы. Если пиццу режут в отношении 3 : 5 между двумя друзьями, то всего получается $3+5=8$ одинаковых кусков, и каждый берёт себе своё число кусков.

Алгоритм пропорционального деления

1
Обозначить искомые части буквами и ввести коэффициент пропорциональности $k$ — значение одной «доли».
2
Выразить каждую часть через $k$, умножив $k$ на соответствующее число отношения.
3
Составить уравнение: сумма всех частей равна заданной величине.
4
Решить уравнение и найти $k$.
5
Подставить $k$ в выражения частей и вычислить ответ.
🧠 Запомни: $k$ — это значение одной доли. Сумма чисел отношения — это общее число долей, на которые делится величина.

Пример. Раствор из трёх компонентов

Для строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 части воды. Сколько цемента, песка и воды потребуется для приготовления 180 кг раствора?

1
Пусть $a$ кг — цемент, $b$ кг — песок, $c$ кг — вода, $k$ — коэффициент пропорциональности: $\tfrac{a}{2} = \tfrac{b}{2} = \tfrac{c}{0{,}8} = k$, откуда $a=2k$, $b=2k$, $c=0{,}8k$.
2
Сумма всех частей равна 180 кг: $2k + 2k + 0{,}8k = 180$.
3
$4{,}8k = 180$, откуда $k = 37{,}5$. Тогда $a = 75$, $b = 75$, $c = 30$.
🧠 Ответ: потребуется 75 кг цемента, 75 кг песка и 30 кг воды.

Длинные отношения

Условие такой задачи удобно записывать одной строкой через длинное отношение: $a : b : c = 2 : 2 : 0{,}8$. Читают: «числа $a$, $b$ и $c$ относятся как 2 к 2 к 0,8».

Длинные отношения можно преобразовывать как обычные дроби — умножать все члены на одно число или сокращать. Так, если умножить всё на 10 и сократить на 4:

$$2 : 2 : 0{,}8 = 20 : 20 : 8 = 5 : 5 : 2.$$
⚠️ Частая ошибка. Длинное отношение нельзя понимать как запись деления нескольких чисел подряд. Например, для найденных частей верно равенство $75 : 75 : 30 = 2 : 2 : 0{,}8$ — но если посчитать левую и правую части буквально как деление, получатся разные числа ($\tfrac{1}{30}$ и $1{,}25$). Длинное отношение — это просто краткая запись условия, а не выражение для вычисления.
← Глава 2, §4 · п.4 Решение задач с помощью пропорций Все темы Глава 3, §1 · п.1 → Положительные и отрицательные числа
Сумма долей
Находим k
Выбери задачу вкладкой — лента разбита на доли пропорционально отношению