Натуральные числа отвечали на вопрос «Сколько?» — два человека, восемь пальм, миллион рублей. Когда целого числа не хватало, придумали дроби — 3/5 урожая, 7/10 пути.
Но и дробей недостаточно, чтобы записать, например, температуру воздуха. Сама по себе запись «15°» ничего не говорит — это 15° тепла или 15° мороза? Нужно как-то обозначить противоположность. Для этого в языке используют знак «минус»: 15° мороза записывают как «–15°».
Раз появился термин «отрицательное число», «старые» числа (кроме 0) для противопоставления стали называть положительными. Иногда их записывают со знаком «плюс»: вместо $3$ пишут $+3$. А число $0$ — не положительное и не отрицательное.
Все положительные числа и 0 можно изобразить точками координатного луча. Для всех рациональных чисел место есть на координатной прямой.
Началу отсчёта — точке $O$ — соответствует число $0$. Положительные числа располагаются в положительном направлении от нуля (оно отмечено стрелкой), а отрицательные — в противоположном, на том же расстоянии от нуля. Например: точка $A(-1)$ — на расстоянии 1 влево от нуля, точка $B(-2{,}5)$ — на расстоянии 2,5, а точка $C(-4\tfrac{1}{3})$ — на расстоянии $4\tfrac{1}{3}$.
Число, показывающее положение точки на координатной прямой, называют координатой этой точки. Попробуй подвигать точку $M$ на схеме справа — её координата меняется прямо на глазах.
Натуральные числа, противоположные к ним отрицательные числа и число 0 образуют множество целых чисел. Оно обозначается буквой $Z$:
$$Z = \{\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots\}.$$Теперь можно сказать точнее: рациональное число — это число вида $\tfrac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Множество рациональных чисел обозначается буквой $Q$:
$$Q = \left\{\frac{p}{q},\ \text{где}\ p \in Z,\ q \in N\right\}.$$Значит, положительные числа, отрицательные числа и ноль вместе образуют множество рациональных чисел. Координатную прямую обычно располагают горизонтально, а положительное направление выбирают «слева направо».
На координатной прямой изменение числа показывают перемещением: увеличение — вправо, уменьшение — влево. Увеличение обозначают знаком «+», уменьшение — знаком «–».