6 класс · Рациональные числа

Противоположные числа и модуль

Противоположные числа

Число $-3$ отличается от числа $3$ только знаком. Такие числа называют противоположными. Можно сказать, что $3$ и $-3$ — взаимно противоположные числа: как $-3$ противоположно $3$, так и $3$ противоположно $-3$. Взаимно противоположны, например, числа $7$ и $-7$, $-1\tfrac{2}{3}$ и $1\tfrac{2}{3}$, $4{,}25$ и $-4{,}25$.

Определение. Число, которое отличается от данного только знаком, называют противоположным ему. Число, противоположное числу $a$, обозначают $-a$. Число $0$ считают противоположным самому себе: $-0 = 0$.

Запись $-5$ можно прочитать двумя способами: «минус 5» и «число, противоположное числу 5». А запись $-(-5)$ означает «число, противоположное числу минус 5», то есть само число $5$. Вообще для любого числа $a$ выполняется равенство

$$-(-a) = a.$$

⚠️ Частая ошибка. Кажется, что запись $-a$ обязательно означает отрицательное число — ведь перед буквой стоит «минус». Это не так! Если само $a$ уже отрицательно, например $a = -2$, то противоположное ему число $-a = -(-2) = 2$ — положительное. Знак $-a$ зависит от знака $a$, а не от знака минус перед буквой.

На координатной прямой взаимно противоположные числа расположены по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии от него. Их точки попарно симметричны относительно начала отсчёта. Подвигай точку $A$ на схеме справа — точка $-A$ сама встанет в симметричное положение.

Модуль числа

Расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей число $a$, называют модулем этого числа (от латинского «modus» — мера, величина).

Определение. Модуль числа $a$ обозначается $|a|$ и равен расстоянию от точки $a$ на координатной прямой до точки $0$. Например: $|2| = 2$, $|-2| = 2$, $|4{,}5| = 4{,}5$, $|-4{,}5| = 4{,}5$.

Так как противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, их модули равны:

$$|-a| = |a|.$$

Модуль нуля считают равным нулю — ведь точка $0$ находится на «нулевом расстоянии» от самой себя: $|0| = 0$. А расстояние, как и любая длина, не может быть отрицательным, поэтому для любого числа $a$ верно неравенство:

$$|a| \geq 0.$$

          💡 Из жизни: модуль — это как показания спидометра или одометра: неважно, едешь ты «вперёд»
          или «назад» (знак движения), пройденное расстояние всегда неотрицательно.
        

Раскрытие скобок: правило знаков

Уточним, как знак перед скобкой влияет на знак числа внутри неё.

Знак «плюс» не меняет знака числа: $+(+a) = +a$, $+(-a) = -a$.

Знак «минус» меняет знак числа на противоположный: $-(+a) = -a$, $-(-a) = +a$.

Вывод: два одинаковых знака подряд дают «$+$», два разных знака дают «$-$»:

$$+(+) = +; \quad +(-) = -; \quad -(-) = +; \quad -(+) = -.$$

🧠 Запомни: $-(-a) = a$; $|-a| = |a|$; $|a| \geq 0$ для любого $a$; противоположные числа — зеркальные точки на координатной прямой относительно нуля, а модуль — это расстояние от точки до нуля.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике