Противоположные числа
Число $-3$ отличается от числа $3$ только знаком. Такие числа называют противоположными.
Можно сказать, что $3$ и $-3$ — взаимно противоположные числа: как
$-3$ противоположно $3$, так и $3$ противоположно $-3$. Взаимно противоположны, например, числа $7$ и $-7$,
$-1\tfrac{2}{3}$ и $1\tfrac{2}{3}$, $4{,}25$ и $-4{,}25$.
Определение. Число, которое отличается от данного только знаком, называют
противоположным ему. Число, противоположное числу $a$, обозначают $-a$. Число $0$ считают
противоположным самому себе: $-0 = 0$.
Запись $-5$ можно прочитать двумя способами: «минус 5» и «число, противоположное числу 5». А запись $-(-5)$
означает «число, противоположное числу минус 5», то есть само число $5$. Вообще для любого числа $a$
выполняется равенство
$$-(-a) = a.$$
⚠️ Частая ошибка. Кажется, что запись $-a$ обязательно означает отрицательное число — ведь
перед буквой стоит «минус». Это не так! Если само $a$ уже отрицательно, например $a = -2$, то противоположное
ему число $-a = -(-2) = 2$ — положительное. Знак $-a$ зависит от знака $a$, а не от знака
минус перед буквой.
На координатной прямой взаимно противоположные числа расположены по
разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии от него. Их точки попарно
симметричны относительно начала отсчёта. Подвигай точку $A$ на схеме справа — точка $-A$
сама встанет в симметричное положение.
Модуль числа
Расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей число $a$, называют
модулем этого числа (от латинского «modus» —
мера, величина).
Определение. Модуль числа $a$ обозначается $|a|$ и равен расстоянию от точки $a$ на
координатной прямой до точки $0$. Например: $|2| = 2$, $|-2| = 2$, $|4{,}5| = 4{,}5$, $|-4{,}5| = 4{,}5$.
Так как противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, их модули равны:
$$|-a| = |a|.$$
Модуль нуля считают равным нулю — ведь точка $0$ находится на «нулевом расстоянии» от самой себя: $|0| = 0$.
А расстояние, как и любая длина, не может быть отрицательным, поэтому для любого числа $a$ верно неравенство:
$$|a| \geq 0.$$
💡 Из жизни: модуль — это как показания спидометра или одометра: неважно, едешь ты «вперёд»
или «назад» (знак движения), пройденное расстояние всегда неотрицательно.
Раскрытие скобок: правило знаков
Уточним, как знак перед скобкой влияет на знак числа внутри неё.
1
Знак «плюс» не меняет знака числа: $+(+a) = +a$, $+(-a) = -a$.
2
Знак «минус» меняет знак числа на противоположный: $-(+a) = -a$, $-(-a) = +a$.
3
Вывод: два одинаковых знака подряд дают «$+$», два разных знака дают
«$-$»:
$$+(+) = +; \quad +(-) = -; \quad -(-) = +; \quad -(+) = -.$$
🧠 Запомни: $-(-a) = a$; $|-a| = |a|$; $|a| \geq 0$ для любого $a$;
противоположные числа — зеркальные точки на координатной прямой относительно нуля, а модуль — это расстояние
от точки до нуля.