Мы уже умели сравнивать натуральные числа и обыкновенные дроби. Теперь научимся сравнивать
любые рациональные числа — положительные, отрицательные и ноль.
Правило. Если координатная прямая расположена горизонтально, то из двух чисел
больше то, точка которого лежит правее, а
меньше то, чья точка лежит левее.
Например: $-3 > -10$, потому что точка $-3$ на координатной
прямой правее точки $-10$; $-3 < 0$ — точка $-3$ левее нуля;
$2 > -3$ — точка $2$ правее точки $-3$.
💡 Из жизни: при температуре $2°C$ на улице теплее, чем при $-3°C$, а при $-3°C$ теплее,
чем при $-10°C$ — то есть опять $2 > -3 > -10$. Координатная прямая — это термометр, повёрнутый набок:
чем правее число, тем оно «теплее».
Три правила сравнения рациональных чисел
Из правила «правее — больше» вытекают три конкретных правила. Наведи на любое — справа появится пример.
1
Любое положительное число больше $0$ и больше любого отрицательного числа.
2
Любое отрицательное число меньше $0$ и меньше любого положительного числа.
3
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
⚠️ Частая ошибка. При сравнении $-3$ и $-10$ иногда говорят «$-10$ больше, потому что
$10 > 3$» — забывая про знак «минус». У отрицательных чисел всё наоборот: чем больше модуль,
тем дальше в минус и тем меньше само число. Верно: $-3 > -10$, так как
$|-3| < |-10|$.
Модуль в буквенной («разветвлённой») форме
Раньше модуль числа $a$ мы определяли геометрически — как расстояние от точки $a$ до нуля. Дадим то же
определение в буквенной форме — она пригодится при решении уравнений и неравенств с модулем.
Определение.
$$|a| = a, \text{ если } a \geq 0;$$
$$|a| = -a, \text{ если } a < 0.$$
Модуль числа вычисляется не сразу: сначала нужно узнать, как число расположено относительно нуля, и лишь
затем выбрать нужную строчку.
Например: так как $2 \geq 0$, по первой строчке $|2| = 2$; а так как $-3 < 0$, по второй строчке
$|-3| = -(-3) = 3$.
🧠 Запомни: на координатной прямой правее — больше, левее — меньше; положительное число
всегда больше отрицательного; из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше;
$|a|=a$ при $a \geq 0$ и $|a|=-a$ при $a < 0$.