Сложение чисел с одинаковыми знаками
Чтобы установить правила сложения рациональных чисел, рассмотрим задачи про доходы и расходы.
Положительные числа мы складывать умеем: $(+5) + (+2) = +7$.
Если сначала израсходовали 5 р., а потом ещё 2 р., то всего израсходовали 7 р. Значит,
$(-5) + (-2) = -7$.
Правило. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, можно
сложить их модули и поставить перед суммой общий знак.
💡 Из жизни: два дохода складываются в больший доход, два расхода — в больший расход.
Знак итога всегда совпадает со знаком слагаемых.
Сложение чисел с разными знаками
При доходе 5 р. и расходе 2 р. получается прибыль 3 р.:
$(+5) + (-2) = +3$. А при расходе 5 р. и доходе 2 р. —
убыток 3 р.: $(-5) + (+2) = -3$.
В обоих случаях величина прибыли (или убытка) находится вычитанием $5 - 2 = 3$, а знак зависит от того,
какое слагаемое «перевешивает» по модулю.
Правило. Чтобы сложить два числа с разными знаками, можно вычесть
из большего модуля меньший и поставить перед разностью знак числа с бо́льшим модулем.
⚠️ Частая ошибка. Модули слагаемых иногда складывают вместо того, чтобы вычесть — как
будто знаки одинаковые. Но у чисел с разными знаками модули именно вычитаются, а знак
результата берётся у слагаемого с бо́льшим модулем, а не «плюс по умолчанию».
Наведи на любую строку — справа появится соответствующий прыжок по числовой прямой.
1$(+5) + (+2) = +7$ — одинаковые знаки, модули складываются.
2$(-5) + (-2) = -7$ — одинаковые знаки, модули складываются.
3$(+5) + (-2) = +3$ — разные знаки, побеждает бо́льший модуль (у $+5$).
4$(-5) + (+2) = -3$ — разные знаки, побеждает бо́льший модуль (у $-5$).
5$(+5) + (-5) = 0$ — числа противоположные, их сумма всегда равна нулю.
Сумма противоположных чисел. Алгебраическая сумма
Пусть доход и расход одинаковы, например по 5 р. Тогда прибыль равна нулю:
$(+5) + (-5) = 0$.
Правило. Сумма двух противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$.
А сумма любого числа с нулём равна самому числу: $a + 0 = 0 + a = a$.
Правила знаков при раскрытии скобок позволяют записывать сумму короче. Например, сумму
$(-4) + (+5) + (-3) + (+1) + (-2)$ можно записать как $-4 + 5 - 3 + 1 - 2$. Выражения, где вперемешку
встречаются плюсы и минусы, называют алгебраической суммой — даже если в них есть
знаки «минус».
💡 Пример. $52 - 78 + 20 - 52 + 8$. Слагаемые $52$ и $-52$ — противоположные, их сумма
равна нулю, поэтому их можно «вычеркнуть»: $52 - 78 + 20 - 52 + 8 = 20 - 78 + 8 = 20 - 70 = -50$.
Для рациональных чисел работают знакомые свойства сложения — переместительное и сочетательное:
$a + b = b + a; \qquad (a + b) + c = a + (b + c)$
Эти свойства позволяют переставлять слагаемые алгебраической суммы и группировать их удобным образом:
например, сначала сложить все положительные числа, потом все отрицательные, а затем сложить результаты.
🧠 Запомни: одинаковые знаки — модули складываем, знак общий. Разные знаки — из бо́льшего
модуля вычитаем меньший, знак берём у бо́льшего по модулю. Сумма противоположных чисел равна нулю,
сумма с нулём не меняет число. Выражение с плюсами и минусами — это алгебраическая сумма, слагаемые
которой можно переставлять и группировать.