Математика · 6 класс · Глава 3, §2, п.2

Вычитание рациональных чисел

От сложения — к вычитанию

Правило вычитания рациональных чисел можно вывести так же, как и правило сложения, — с помощью практической задачи. Например, температура повысилась с $-3\,°C$ до $5\,°C$. Изменение температуры равно разности $5 - (-3)$, но его же легко найти и сложением: температура выросла на $5 + 3 = 8$ градусов. Значит,

$5 - (-3) = 5 + 3 = 8.$

Вычитание числа $(-3)$ здесь свелось к прибавлению противоположного ему числа $3$. Этот вывод верен всегда. Вспомним, что разность $a - b$ — это такое число $c$, которое при сложении с $b$ снова даёт $a$:

$a - b = c \iff c + b = a.$

Таким числом $c$ является $a + (-b)$: если сложить его с $b$, числа $(-b)$ и $b$ взаимно уничтожатся и останется $a$. Значит, вычитание всегда можно заменить сложением с противоположным числом.

Правило. Чтобы вычесть из данного числа другое число, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: $$a - b = a + (-b).$$
💡 Из жизни: «отнять долг» — то же самое, что «прибавить такое же имущество». Вычесть число $b$ — значит на самом деле прибавить число $-b$, ему противоположное.

Знак вычитаемого «переворачивается»

Справа на числовой прямой отмечено число $b$ (вычитаемое) и число $-b$, ему противоположное — они расположены зеркально относительно нуля. Именно на $-b$, а не на $b$, в итоге сдвигается точка при вычитании. Переключай примеры вкладками или потяни зелёную точку — результат — и смотри, как отражение $b \to -b$ определяет прыжок.

Из общего правила $a - b = a + (-b)$ следуют частные случаи:

$a - (-b) = a + b, \qquad a - (+b) = a - b.$

Значит, при раскрытии скобок «минус минус» превращается в «плюс», а «минус плюс» — в «минус». Любое выражение со знаками сложения и вычитания можно записать без лишних скобок в виде алгебраической суммы, например:

$(-8) + (+4) - (+12) - (-3) + (-5) = -8 + 4 - 12 + 3 - 5.$

⚠️ Частая ошибка. «Минус на минус» иногда путают со знаком самого числа и пишут $a - (-b) = a - b$. На самом деле два минуса подряд превращаются в плюс: $a - (-b) = a + b$ — вычитаемое меняет знак на противоположный, а не сохраняет его.

Наведи на пример — справа появится прыжок именно для него:

1
$5 - (-3) = 5 + (+3) = 8$ — вычитаем отрицательное число, значит прибавляем положительное.
2
$(-12) - (-8) = -12 + (+8) = -4$ — снова вычитаем отрицательное.
3
$3 - 8 = 3 + (-8) = -5$ — вычитаем положительное число, значит прибавляем отрицательное.
4
$-2 - (-6) = -2 + (+6) = 4$ — вычитаемое $-6$ меняет знак на $+6$.
5
$-7 - 3 = -7 + (-3) = -10$ — вычитаемое $3$ меняет знак на $-3$.

Свойства и применение

Правило вычитания сохраняет все привычные свойства: вычитание нуля не меняет число, а разность числа с самим собой равна нулю:

$a - 0 = a, \qquad a - a = 0.$

Так же находятся и неизвестные компоненты в уравнениях. Например, чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы нужно вычесть известное слагаемое:

1
Уравнение: $-1{,}2 + (-x) = -0{,}9$.
2
Неизвестное слагаемое $-x$ находим вычитанием: $-x = -0{,}9 - (-1{,}2)$.
3
Заменяем вычитание сложением: $-x = -0{,}9 + 1{,}2 = 0{,}3$, значит $x = -0{,}3$.

Правило вычитания работает и на координатной прямой: длина отрезка равна разности координат его правого и левого концов. Если $A(-3)$, $B(2)$, то $AB = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.

🧠 Запомни: вычесть число — значит прибавить противоположное: $a - b = a + (-b)$. При раскрытии скобок «минус минус» даёт «плюс», «минус плюс» даёт «минус». Полученное выражение — алгебраическая сумма, её слагаемые можно переставлять и группировать.
← Глава 3, §2 · п.1 Сложение рациональных чисел Все темы Глава 3, §2 · п.3 → Умножение рациональных чисел