В русском языке очень часто встречаются предложения с союзом «если..., то...».
Например: «Если где-то идёт дождь, то земля в этом месте мокрая». Такое предложение
всегда можно заменить предложением с глаголом «следовать»: «Из того, что идёт дождь,
следует, что земля мокрая». Звучит непривычно, но именно такая формулировка удобна
для перевода на язык математики.
То же самое верно и для математических высказываний. Возьмём предложение: «Если
натуральное число оканчивается цифрой 5, то оно делится на 5». Смысл тот же, что
и у предложения: «Из того, что натуральное число оканчивается цифрой 5, следует,
что оно делится на 5». Оба предложения говорят об одном и том же общем факте.
💡 Из жизни: «Если экзамен сдан на пятёрку, то стипендия
начисляется» — то же самое, что «Из того, что экзамен сдан на пятёрку, следует
начисление стипендии». Форма разная, а смысл — один.
Знак следования ⇒
Определение. Запись вида $P \Rightarrow Q$ называют
логическим следованием. Знак ⇒ — это знак следования. Предложение
$P$ называют условием, а предложение $Q$ — заключением,
или следствием, предложения $P$.
Запись $P \Rightarrow Q$ можно прочитать тремя разными способами — все они означают
одно и то же:
«Если $P$, то $Q$»;
«Из $P$ следует $Q$»;
«$Q$ есть следствие $P$» (иногда говорят «вытекает» — знак ⇒ как раз показывает
«направление течения»: из $P$ «вытекает» $Q$).
Справа — четыре предложения из учебника, переведённые на язык знака ⇒. Переключай
вкладки и смотри, как условие и заключение соединяются стрелкой.
Пример: переводим предложение на язык знака ⇒
Возьмём предложение «Если натуральное число делится на 9, то оно делится на 3» и
переведём его на математический язык по шагам.
1
Найди условие — то, что стоит после слова «если»: «число
делится на 9». Введём переменную $n$: получаем $n$ делится на 9.
2
Найди заключение — то, что стоит после слова «то»: «оно
делится на 3», то есть $n$ делится на 3. Букву берём ту же самую — речь идёт
об одном и том же числе.
3
Соедини условие и заключение знаком следования: $n$ делится на 9
$\Rightarrow$ $n$ делится на 3.
4
Не забудь указать, каким числам может быть равно $n$ — в конце добавляют
$(n \in N)$, если речь идёт только о натуральных числах.
Порядок условия и заключения важен
Сравни два предложения из учебника — переставлять условие и заключение местами нельзя, получаются разные по смыслу высказывания:
№
Если..., то...
Знак ⇒
1а
Если натуральное число делится на 9, то оно делится на 3.
$n \text{ делится на } 9 \Rightarrow n \text{ делится на } 3$
1б
Если натуральное число делится на 3, то оно делится на 9.
$n \text{ делится на } 3 \Rightarrow n \text{ делится на } 9$
⚠️ Частая ошибка. Думать, что раз верно «$P \Rightarrow Q$», то автоматически верно и обратное
«$Q \Rightarrow P$». Это не так! Предложение 1а истинно: любое число, делящееся
на 9, делится и на 3 (например, 18, 27, 45). А предложение 1б — ложно: число 6
делится на 3, но не делится на 9. Условие и заключение нельзя
менять местами без проверки.
🧠 Запомни: предложение с союзом «если..., то...» можно записать
через знак следования $P \Rightarrow Q$, где $P$ — условие, $Q$ — заключение.
Читают так: «если $P$, то $Q$», «из $P$ следует $Q$», «$Q$ есть следствие $P$».
Условие и заключение переставлять местами нельзя — от этого меняется смысл (а
иногда истинное высказывание становится ложным).