Из того, что где-то идёт дождь, следует, что земля в этом месте мокрая. А вот
обратное неверно: если земля мокрая, вовсе не обязательно, что идёт дождь —
вполне может оказаться, что землю специально полили. Значит, из предложения
«земля мокрая» вовсе не следует предложение «идёт дождь».
Чтобы доказать, что предложение «из $P$ не следует $Q$» верно, достаточно
привести один пример ситуации, когда условие $P$ истинно, а
заключение $Q$ ложно. Такой пример называют контрпримером.
💡 Из жизни: «Из того, что земля мокрая, не следует, что идёт
дождь» — контрпримером служит политый из шланга газон: земля мокрая (условие
истинно), а дождя нет (заключение ложно).
Знак отрицания следования ⇏
Определение.Отрицанием
следования $P \Rightarrow Q$ называют предложение $\neg(P \Rightarrow Q)$,
или $P \not\Rightarrow Q$, которое читается «Неверно, что из $P$ следует $Q$» или
«Из $P$ не следует $Q$». Для его обоснования достаточно привести пример, когда
$P$ истинно, а $Q$ ложно.
Например, из того, что натуральное число $n$ делится на 5, не следует, что оно
оканчивается цифрой 5. Ведь число 10 делится на 5 (условие истинно), но
оканчивается на 0, а не на 5 (заключение ложно). Число 10 — контрпример.
Как найти контрпример: пример по шагам
Возьмём ложное высказывание «Если натуральное число делится на 3, то оно делится
на 9», то есть $n$ делится на 3 $\Rightarrow$ $n$ делится на 9, и построим для
него контрпример.
1
Найди число, для которого условие истинно: возьмём
$n = 3$. Проверим: 3 делится на 3 — да, условие истинно.
2
Проверь для этого же числа заключение: делится ли 3 на 9?
Нет, 3 на 9 не делится — заключение ложно.
3
Условие истинно, а заключение ложно на одном и том же числе — значит,
$n = 3$ является контрпримером, и высказывание $n$ делится на 3
$\Rightarrow$ $n$ делится на 9 ложно.
4
Запиши вывод через знак отрицания следования: $n$ делится на 3
$\not\Rightarrow$ $n$ делится на 9.
Ещё контрпримеры из учебника
Переключай вкладки справа — для каждого ложного высказывания смотри, какое число (или дробь) служит контрпримером.
Дробь $\tfrac{5}{5}$: неправильная, но обратная дробь тоже неправильная.
3а
$x > 8 \Rightarrow x \geqslant 9$
Число 8,5: больше 8, но меньше 9.
⚠️ Частая ошибка. Просто сказать «это неверно» без конкретного
числа. Одних слов недостаточно — контрпример обязан быть конкретным
значением, для которого можно прямой проверкой показать: условие
выполняется, а заключение — нет. Общих рассуждений «наверное, бывают
исключения» здесь мало.
🧠 Запомни: отрицание следования $P \Rightarrow Q$ записывают как
$\neg(P \Rightarrow Q)$ или $P \not\Rightarrow Q$ — «из $P$ не следует $Q$». Чтобы
доказать такое предложение, достаточно найти один контрпример: конкретный случай,
где $P$ истинно, а $Q$ ложно.