Замечательные точки в треугольнике

Треугольник, который не перестаёт удивлять

Треугольник — одна из самых простых фигур в геометрии, но у него есть свойства, которые не видны сразу, а обнаруживаются только точным построением. Их называют замечательными — не потому что они «примечательные для контрольной», а потому что они по-настоящему удивляют, если построить их самому циркулем и линейкой.

Сейчас мы познакомимся с четырьмя такими точками. Полное доказательство того, почему они существуют, будет в курсе геометрии 7–9 классов — а пока мы убедимся в этом с помощью построений и научимся распознавать каждую точку.

Центр описанной окружности

Проведём в треугольнике $ABC$ серединные перпендикуляры к трём его сторонам — прямые, которые проходят через середину стороны под прямым углом к ней. Если построение точное, все три перпендикуляра пересекутся ровно в одной точке $O$.

Гипотеза. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Точка $O$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника. Значит, окружность с центром $O$, проходящая через одну вершину, пройдёт и через две другие. Такую окружность, проходящую через все вершины треугольника, называют описанной около него.

Расположение точки $O$ зависит от вида треугольника: у остроугольного она внутри, у прямоугольного — прямо на середине гипотенузы, а у тупоугольного — снаружи фигуры.

Центр вписанной окружности

Теперь проведём в том же треугольнике биссектрисы всех трёх углов — лучи, которые делят каждый угол пополам. И снова при точном построении все три биссектрисы пересекаются в одной точке $D$.

Гипотеза. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

Если из точки $D$ опустить перпендикуляры на все три стороны треугольника, то их длины окажутся равны: $DA_1 = DB_1 = DC_1$. Окружность с центром $D$ и таким радиусом коснётся всех трёх сторон треугольника, но не пересечёт ни одну из них — такую окружность называют вписанной. В отличие от центра описанной окружности, центр вписанной окружности всегда находится внутри треугольника, независимо от его вида.

Ортоцентр

Проведём из каждой вершины треугольника перпендикуляр к противоположной стороне (или к её продолжению) — такие отрезки называют высотами. Все три высоты (или их продолжения) снова пересекаются в одной точке $H$ — она называется ортоцентром.

Гипотеза. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в ортоцентре.

Положение ортоцентра тоже зависит от вида треугольника: у остроугольного он внутри, у прямоугольного — точно в вершине прямого угла, а у тупоугольного — снаружи фигуры. Потяни вершины справа и понаблюдай, как $H$ «выпрыгивает» из треугольника, если сделать один из углов тупым.

Точка пересечения медиан

Найдём середины всех трёх сторон и соединим каждую вершину с серединой противоположной стороны — такие отрезки называются медианами. Проведи все три медианы треугольника — они тоже пересекутся ровно в одной точке $M$.

Гипотеза. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины.

        💡 Из жизни: точка пересечения медиан — это
        одновременно и центр тяжести треугольника. Если
        вырезать треугольник из картона и поставить его на остриё
        карандаша ровно в этой точке, он не упадёт и останется
        в равновесии — а в любой другой точке обязательно завалится
        на одну сторону.
      

⚠️ Частая ошибка. Медиану, биссектрису и высоту, проведённые из одной и той же вершины, часто путают между собой — кажется, что это один и тот же отрезок. На самом деле в общем случае это три разных отрезка с тремя разными концами на противоположной стороне: медиана идёт в середину стороны, биссектриса делит угол пополам, а высота падает под прямым углом. Они совпадают только в равнобедренном треугольнике — и только для того угла, который лежит между равными сторонами.

🧠 Запомни: у треугольника четыре замечательные точки — центр описанной окружности $O$ (серединные перпендикуляры), центр вписанной окружности $D$ (биссектрисы), ортоцентр $H$ (высоты) и точка пересечения медиан $M$ (делит медианы в отношении $2:1$). Учёный Леонард Эйлер доказал, что $O$, $M$ и $H$ всегда лежат на одной прямой — её называют прямой Эйлера, — причём точка $M$ делит отрезок $OH$ в отношении $1:2$.