6 класс · Геометрия

Многогранники

Что такое многогранник

Определение. Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из граней — частей плоскости, ограниченных многоугольниками. Стороны этих многоугольников называются рёбрами многогранника, а вершины многоугольников — вершинами многогранника.

Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам и развернуть на плоскости, получится его развёртка. Именно по развёртке обычно и склеивают бумажную модель многогранника.

Пирамида и тетраэдр

У пирамиды основанием служит многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной. Число сторон многоугольника в основании определяет название: треугольная, четырёхугольная и т. д.

          💡 Для $n$-угольной пирамиды: число вершин и число граней равны $n+1$, а число рёбер —
          $2n$.
        

Самая простая пирамида — треугольная: её поверхность состоит всего из четырёх треугольников, поэтому её называют ещё тетраэдром (от греч. «тетра» — четыре). Покрути его в интерактиве.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — многогранник, все шесть граней которого являются прямоугольниками. У него 8 вершин и 12 рёбер, но при этом рёбер различной длины может быть только три: это длина, ширина и высота, поэтому говорят, что у параллелепипеда три измерения.

Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения равны.

Формула Эйлера

Многогранник называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить содержащимся в нём отрезком. Леонард Эйлер обнаружил удивительную закономерность между числом вершин ($B$), рёбер ($P$) и граней ($\Gamma$) любого выпуклого многогранника:

$$\Gamma + B - P = 2$$

Фигура	Г (грани)	В (вершины)	Р (рёбра)	Г+В−Р
Тетраэдр	4	4	6	2
Куб	6	8	12	2

⚠️ Частая ошибка. Куб путают с прямоугольным параллелепипедом «вообще» — на самом деле куб является параллелепипедом (частным случаем), а не отдельной от него фигурой. Все кубы — параллелепипеды, но не все параллелепипеды — кубы.

🧠 Запомни: грань — многоугольник на поверхности, ребро — сторона грани, вершина — вершина грани; тетраэдр = треугольная пирамида (4 грани); формула Эйлера $\Gamma + B - P = 2$ верна для любого выпуклого многогранника.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике