💡Из жизниВ условии задачи почти всегда есть два независимых факта об одних и тех же величинах: «купюр было 20 штук» и «денег было 25 500». Один факт — одно уравнение. Два факта про два неизвестных — система из двух уравнений. Составить систему значит просто аккуратно перевести каждое предложение условия с русского языка на язык алгебры.
Алгебраический способ решения текстовых задач часто сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
📐План решения задачи с помощью системы
обозначить буквами $x$ и $y$ две неизвестные величины (и записать словами, что именно они означают);
перевести каждое условие задачи в уравнение — получится система;
решить систему любым удобным способом;
проверить найденные значения по смыслу задачи и записать ответ.
Последний пункт — не формальность. Иногда система решается прекрасно, но её решение не подходит по смыслу задачи, и правильный ответ звучит так: «такого не может быть». Как раз такую задачу разберём первой.
Задача 1. Может ли так быть?
У Лены были купюры по 500 и по 2000. Она утверждает, что купила велосипед за 25 500, отдав за него 20 купюр, а Катя говорит, что такого не может быть. Кто прав?
1
Пусть у Лены было $x$ купюр по 500 и $y$ купюр по 2000.
2
Купюр всего 20 — это первое уравнение: $x+y=20$. Отдано ровно 25 500 — это второе: $500x+2000y=25\,500$.
3
Получилась система $$\begin{cases} x+y=20, \\ 500x+2000y=25\,500. \end{cases}$$
4
Решим её подстановкой: $x=20-y$, значит $500(20-y)+2000y=25\,500$, то есть $10\,000+1500y=25\,500$, откуда $1500y=15\,500$ и $y=10\dfrac13$.
5
Проверяем по смыслу задачи: количество купюр может выражаться только натуральным числом, а $10\dfrac13$ — не натуральное число. Значит, такого набора купюр не существует. Ответ: права Катя.
Проверь это руками на интерактиве справа: двигай ползунок числа купюр по 2000 — сумма прыгает через 1500 (10 000, 11 500, 13 000, …) и в 25 500 не попадает никогда.
Задача 2. Задача с процентами
Чашка и блюдце стоили вместе 680. После того как чашка подешевела на 20%, а блюдце подорожало на 10%, они стали стоить вместе 580. Найдём первоначальную цену чашки и первоначальную цену блюдца.
1
Пусть первоначальная цена чашки составляла $x$, а блюдца — $y$. Тогда по условию $x+y=680$.
2
Чашка подешевела на 20%, значит новая цена составляет $100\%-20\%=80\%$ прежней, то есть $0{,}8x$. Блюдце подорожало на 10%, значит его новая цена — $110\%$ прежней, то есть $1{,}1y$.
3
Вместе они стали стоить 580, поэтому $0{,}8x+1{,}1y=580$. Получили систему $$\begin{cases} x+y=680, \\ 0{,}8x+1{,}1y=580. \end{cases}$$
4
Подстановка $y=680-x$ даёт $0{,}8x+1{,}1(680-x)=580$, то есть $0{,}8x+748-1{,}1x=580$, откуда $-0{,}3x=-168$ и $x=560$. Тогда $y=680-560=120$.
5
Проверим: $0{,}8\cdot560=448$, $1{,}1\cdot120=132$, а $448+132=580$ — сходится. Ответ: 560 за чашку, 120 за блюдце.
⚠️Частая ошибкаСчитать «подешевела на 20%» и «стала стоить 20%» одним и тем же. Если цена уменьшилась на 20%, то от неё осталось $100\%-20\%=80\%$, то есть $0{,}8x$, а не $0{,}2x$. Точно так же «подорожало на 10%» даёт $110\%$, то есть $1{,}1y$, а не $0{,}1y$. Правило простое: проценты из условия всегда прибавляй к 100% или вычитай из них — и только потом переводи в множитель.
Итоги
🧠ЗапомниОбозначь буквами то, что спрашивают. Каждое отдельное условие задачи — отдельное уравнение. Реши систему, а потом обязательно вернись к условию и проверь ответ на смысл: количество предметов бывает только целым неотрицательным, цена и длина — только положительными. Если решение системы не проходит эту проверку, задача ответа не имеет — и это тоже правильный ответ.