8 класс · Уравнения и системы уравнений

Алгебраический способ решения систем уравнений

Зачем нужен алгебраический способ

💡 Из жизниИзмерить длину стола можно на глаз — «примерно полтора метра». А можно рулеткой — «152 см». Графический способ из прошлого пункта — это «на глаз»: координаты точек пересечения мы снимаем с чертежа и всегда получаем приближённые числа. Алгебраический способ — это рулетка: он даёт точный ответ, пусть и требует вычислений.

Именно поэтому основным способом решения систем уравнений с двумя переменными является алгебраический. Работает он на одной простой идее: избавиться от одной переменной и свести систему к одному уравнению с одной переменной — а такие уравнения мы решать уже умеем.

Добиться этого можно двумя приёмами: способом подстановки и способом сложения.

Способ подстановки

Начнём с самого частого случая: система составлена из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Такую систему всегда можно решить способом подстановки.

📐 Алгоритм способа подстановки
  1. выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
  2. подставляют полученное выражение в уравнение второй степени — приходят к уравнению с одной переменной;
  3. решают получившееся уравнение с одной переменной;
  4. находят соответствующие значения второй переменной.

Разбор системы $\{x^2-3xy-2y^2=2,\ x+2y=1\}$ по этому алгоритму — на вкладке «Пример 1». Обрати внимание на шаг 4: подставлять найденные значения удобнее не в исходное уравнение, а в уже готовую формулу $x=1-2y$ — так меньше вычислений и меньше шансов ошибиться.

Когда оба уравнения второй степени

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти её решения обычно бывает трудно. Но в отдельных случаях такие системы всё же удаётся решить — тем же способом подстановки или способом сложения.

Подстановка. В системе $\{x^2-y^2=5,\ xy=6\}$ из второго уравнения легко выразить $y$ через $x$: так как $x\neq0$, получаем $y=\dfrac{6}{x}$. Дальше — обычная подстановка (вкладка «Пример 2»).

Сложение. В системе $\{x^2-2y^2+x=-6,\ x^2-3y^2=-11\}$ выражать переменную неудобно. Зато можно уравнять коэффициенты при $y^2$ и почленно сложить уравнения — слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожатся, и останется уравнение с одной переменной $x$ (вкладка «Способ сложения»).

⚠️ Частая ошибкаНайти отдельно все значения $x$, отдельно все значения $y$ — и склеить из них все возможные пары. Так делать нельзя: каждому найденному $x$ соответствует свой $y$, вычисленный по формуле подстановки. В примере 2 ответ $(-3;\,-2)$ и $(3;\,2)$, а пары $(-3;\,2)$ и $(3;\,-2)$ решениями не являются — проверь подстановкой в уравнение $xy=6$. А вот в примере 3 при каждом $x$ действительно получается по два значения $y$ (из $3y^2=x^2+11$ выходит $y=\pm\sqrt{\ldots}$), и все четыре пары верны — потому что там каждое значение честно вычислено из уравнения, а не «склеено» наугад.

Итоги

🧠 ЗапомниЦель любого алгебраического способа — получить одно уравнение с одной переменной. Если в системе есть уравнение первой степени — выражай из него переменную и подставляй (способ подстановки). Если оба уравнения второй степени — попробуй уравнять коэффициенты при $x^2$ или $y^2$ и сложить уравнения почленно (способ сложения). Найдя одну переменную, обязательно вычисли вторую и запиши ответ парами.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике