Именно поэтому основным способом решения систем уравнений с двумя переменными является алгебраический. Работает он на одной простой идее: избавиться от одной переменной и свести систему к одному уравнению с одной переменной — а такие уравнения мы решать уже умеем.
Добиться этого можно двумя приёмами: способом подстановки и способом сложения.
Начнём с самого частого случая: система составлена из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Такую систему всегда можно решить способом подстановки.
Разбор системы $\{x^2-3xy-2y^2=2,\ x+2y=1\}$ по этому алгоритму — на вкладке «Пример 1» справа. Обрати внимание на шаг 4: подставлять найденные значения удобнее не в исходное уравнение, а в уже готовую формулу $x=1-2y$ — так меньше вычислений и меньше шансов ошибиться.
Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти её решения обычно бывает трудно. Но в отдельных случаях такие системы всё же удаётся решить — тем же способом подстановки или способом сложения.
Подстановка. В системе $\{x^2-y^2=5,\ xy=6\}$ из второго уравнения легко выразить $y$ через $x$: так как $x\neq0$, получаем $y=\dfrac{6}{x}$. Дальше — обычная подстановка (вкладка «Пример 2»).
Сложение. В системе $\{x^2-2y^2+x=-6,\ x^2-3y^2=-11\}$ выражать переменную неудобно. Зато можно уравнять коэффициенты при $y^2$ и почленно сложить уравнения — слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожатся, и останется уравнение с одной переменной $x$ (вкладка «Способ сложения»).