💡Из жизниУ духовки есть ручка температуры. Пока ты её не повернул, это просто «настройка» — но именно от неё зависит, испечётся пирог или сгорит. В уравнении такой «ручкой» бывает буква: сама по себе она не неизвестное, которое мы ищем, а настройка, от которой зависит, каким будет ответ и будет ли он вообще.
Посмотри на три уравнения: $7x=5$, $-3x=5$, $0x=5$. Все три имеют один и тот же вид $ax=5$, где $a$ — некоторое число.
в первом $a=7$, и корень равен $\dfrac{5}{7}$;
во втором $a=-3$, и корень равен $\dfrac{5}{-3}$;
в третьем $a=0$, и корней нет вовсе: сколько ни умножай ноль на число, пятёрку не получишь.
Вообще, уравнение вида $ax=5$ при $a\neq0$ имеет единственный корень $\dfrac{5}{a}$, а при $a=0$ не имеет корней. Мы разобрали сразу все уравнения такого вида, а не три отдельных.
📐ПараметрВ уравнении $ax=5$ буквам $a$ и $x$ придан разный смысл: буквой $x$ обозначено неизвестное число, которое мы ищем, а буквой $a$ — некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что $a$ является параметром, а $ax=5$ — уравнением с параметром.
🎯Что значит «решить уравнение с параметром»Показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.
Ползунок на интерактиве справа — это и есть та самая «ручка настройки». На вкладке $ax=5$ двигай $a$ и смотри, как корень уравнения (зелёная точка на оси) убегает всё дальше, когда $a$ приближается к нулю, — а при $a=0$ исчезает совсем.
Данное уравнение при $a=0$ является линейным, а при $a\neq0$ — квадратным. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
2
Если $a=0$, уравнение обращается в линейное $-x+1=0$, которое имеет единственный корень $x=1$.
3
Пусть $a\neq0$. Тогда уравнение квадратное, найдём его дискриминант: $D=(a^2-1)^2-4a(a-1)^2=(a-1)^2\left((a+1)^2-4a\right)=(a-1)^4$.
4
Так как $D=(a-1)^4 \ge 0$ при любом значении $a$, уравнение при любом $a$ имеет корни. Обрати внимание: это редкий подарок — обычно приходится отдельно разбирать случай $D \lt 0$.
5
Если $a=1$, то $D=0$ и корень единственный. Найдём его, подставив в уравнение $a=1$: получим $x^2=0$, отсюда $x=0$.
6
Если $a\neq1$ (и $a\neq0$), то $D \gt 0$ и корней два. По формуле корней $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$, где $-b=1-a^2$ и $\sqrt{D}=(a-1)^2$: $$x_1=\frac{1-a^2-(a-1)^2}{2a}=\frac{-2a^2+2a}{2a}=1-a,$$ $$x_2=\frac{1-a^2+(a-1)^2}{2a}=\frac{-2a+2}{2a}=\frac{1-a}{a}.$$
7
Ответ: корень $1$ при $a=0$; корень $0$ при $a=1$; корни $1-a$ и $\dfrac{1-a}{a}$ при $a\neq0$ и $a\neq1$.
⚠️Частая ошибкаУвидев $ax^2+\ldots=0$, сразу считать уравнение квадратным и кидаться искать дискриминант. Но если $a=0$, слагаемое с $x^2$ исчезает и уравнение становится линейным — у него совсем другая логика решения. То же самое при делении: сокращая дробь на $b-3$ в примере 1, мы обязаны сначала оговорить, что $b\neq3$, иначе делим на ноль. Правило железное: прежде чем делить на выражение с параметром или считать уравнение квадратным, отдельно разбери случай, когда это выражение равно нулю.
Итоги
🧠ЗапомниПараметр — это буква-настройка: не то, что мы ищем, а то, от чего зависит ответ. Решить уравнение с параметром — значит разобрать все его значения и для каждого сказать, сколько корней и какие они. Опорные точки разбора — те значения параметра, при которых что-то ломается: коэффициент при старшей степени обращается в ноль, делитель обращается в ноль, дискриминант меняет знак. Ответ пишется не одним числом, а списком случаев.