Дроби можно приводить к общему знаменателю, десятичные — сравнивать по разрядам, а отрицательные числа — по модулю. Но эти способы разные для разных чисел. Удобнее иметь один способ, который годится всегда: составить разность двух чисел и посмотреть на её знак.
📐ОпределениеЧисло a больше числа b, если разность $a - b$ — положительное число; число $a$ меньше числа $b$, если разность $a - b$ — отрицательное число. Если разность $a - b$ равна нулю, то числа $a$ и $b$ равны.
На координатной прямой это выглядит наглядно: большее число всегда лежит правее, а меньшее — левее, независимо от знака самих чисел.
💡Из жизниВчера был мороз $-9$ °C, а сегодня $-3$ °C. Сегодня теплее, хотя число $3$ меньше числа $9$ — потому что $-3 \gt -9$: минус три градуса ближе к нулю, чем минус девять. Знак «минус» переворачивает привычный порядок.
Подвигай точки $a$ и $b$ на прямой справа и посмотри, как меняется знак разности $a-b$ и вывод «$a$ больше/меньше $b$».
Доказательство неравенства через разность
Способ «составить разность» полезен не только для сравнения чисел, но и для доказательства неравенств с переменной — для этого не нужно знать конкретное значение $a$, достаточно показать, что разность левой и правой части всегда одного знака.
Пример. Докажем, что при любом значении $a$ верно неравенство $(a-3)(a-5) \lt (a-4)^2$.
1Составим разность левой и правой частей неравенства: $$(a-3)(a-5) - (a-4)^2$$
4Разность равна $-1$ при любом значении $a$ — она отрицательна всегда. Значит, по определению, левая часть всегда меньше правой: $$(a-3)(a-5) \lt (a-4)^2$$
⚠️Частая ошибкаСравнивая отрицательные числа, ученики часто смотрят только на модуль: раз $23 \gt 15$, значит «$-23$ больше». На самом деле наоборот: $-15 \gt -23$, потому что $-15$ ближе к нулю и лежит правее на координатной прямой. У отрицательных чисел порядок «переворачивается» относительно модулей.
Итоги
🧠ЗапомниЧтобы сравнить $a$ и $b$ — составь разность $a-b$: если она $\gt 0$, то $a \gt b$; если $\lt 0$, то $a \lt b$; если $=0$, то $a=b$. На координатной прямой большее число всегда правее меньшего — это верно и для отрицательных чисел.