Для обыкновенных дробей вы уже пользовались таким правилом: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, значение дроби не изменится. Например, $\tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{3}{6}$ — это одна и та же величина, просто записанная по-разному.
Оказывается, это же правило верно не только для чисел, но и для любых выражений — в том числе для многочленов, если только знаменатель и множитель, на который умножаем, не равны нулю.
📐Основное свойство дробиЕсли числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен $c$, то получится равная ей дробь:
Подвигай ползунок справа — множитель $c$ меняется, числитель и знаменатель дроби $\tfrac{3}{4}$ растут в $c$ раз, а закрашенная доля полоски остаётся ровно той же — значение дроби не меняется.
💡Из жизниРецепт рассчитан на 4 порции и требует 3 стакана муки — соотношение $\tfrac{3}{4}$. Если гостей стало вдвое больше, ты берёшь 8 порций и 6 стаканов муки: $\tfrac{6}{8}$. Мука на порцию та же самая — просто и числитель, и знаменатель ты умножил на одно и то же число 2.
Доказательство. Пусть $\tfrac{a}{b}=m$. Тогда по определению частного $a=bm$. Умножим обе части на $c$: $ac=(bm)c=(bc)m$. Так как $bc\ne 0$, по определению частного $\tfrac{ac}{bc}=m$. Значит, $\tfrac{a}{b}=\tfrac{ac}{bc}$ — что и требовалось доказать.
🧩ТождествоРавенство $\tfrac{a}{b}=\tfrac{ac}{bc}$ верно при всех допустимых значениях переменных — такое равенство называют тождеством.
Смена знака дроби
Из основного свойства следует полезное правило: если и числитель дроби, и знак перед дробью поменять на противоположные, дробь не изменится (умножили числитель и «внешний» знак на $-1$ — то есть, по сути, на одно и то же число).
🔁Правило знакаЕсли изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, получится тождественно равное выражение:
$$\dfrac{5}{2y-x} = -\dfrac{5}{x-2y}$$
Например, дробь $\tfrac{5}{2y-x}$ нужно привести к знаменателю $x-2y$: умножаем числитель и знаменатель на $-1$ и получаем $\tfrac{-5}{x-2y}=-\tfrac{5}{x-2y}$.
Сокращение дробей
Основное свойство дроби позволяет не только приводить дробь к новому знаменателю, но и сокращать её — делить числитель и знаменатель на общий множитель. Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно:
разложить числитель и знаменатель на множители;
найти общий множитель;
разделить на него и числитель, и знаменатель.
Сократим дробь $\tfrac{a^2-9}{ab+3b}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов, а знаменатель — вынесением общего множителя за скобки. Нажми кнопку ниже, чтобы увидеть решение по шагам.
1
Раскладываем числитель и знаменатель на множители: $\dfrac{a^2-9}{ab+3b} = \dfrac{(a-3)(a+3)}{b(a+3)}$.
2
Видим общий множитель числителя и знаменателя — это $(a+3)$.
3
Делим числитель и знаменатель на $(a+3)$: $\dfrac{(a-3)(a+3)}{b(a+3)} = \dfrac{a-3}{b}$.
Иногда перед сокращением нужно ещё и вынести минус за скобки. Сократим дробь $\tfrac{x-1}{x(1-x)}$: заметим, что $x-1=-(1-x)$, поэтому $\dfrac{x-1}{x(1-x)} = \dfrac{-(1-x)}{x(1-x)} = -\dfrac{1}{x}$.
⚠️Частая ошибкаСокращать можно только общий множитель, а не отдельное слагаемое. В дроби $\dfrac{a-3}{a}$ нельзя «вычеркнуть» букву $a$ и получить $-3$ — числитель $a-3$ не разложен на множители, значит, множителя $a$ там попросту нет. Прежде чем сокращать, всегда сначала раскладывай числитель и знаменатель на множители.
🧠Запомни$\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc}$ при $b\ne 0,\ c\ne 0$ — числитель и знаменатель можно умножать (и делить) на одно и то же ненулевое выражение. Смена знака числителя (или знаменателя) и знака перед дробью даёт тождественно равное выражение. Сокращать дробь можно только на общий множитель, предварительно разложив числитель и знаменатель на множители.