8 класс · Рациональные дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило сложения и вычитания

Складывать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями вы умеете с 5 класса: $\tfrac{2}{7}+\tfrac{3}{7}=\tfrac{2+3}{7}=\tfrac{5}{7}$ — складывают числители, а знаменатель оставляют прежним. С рациональными дробями, где в числителе и знаменателе стоят многочлены, правило работает точно так же.

📐 ПравилоЧтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Чтобы выполнить вычитание — надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же:

$$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}, \qquad \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$$

Здесь $a$, $b$, $c$ — многочлены, причём $c$ — ненулевой многочлен. Перетяни бегунки в интерактиве: первая дробь и вторая дробь разбиты на одинаковые доли, поэтому их закрашенные клетки просто ссыпаются в одну общую полоску — знаменатель при этом не меняется.

Пример 1. Сложим дроби $\tfrac{3a-7b}{15ab}$ и $\tfrac{2a+2b}{15ab}$:

$$\dfrac{3a-7b}{15ab}+\dfrac{2a+2b}{15ab}=\dfrac{3a-7b+2a+2b}{15ab}=\dfrac{5a-5b}{15ab}=\dfrac{5(a-b)}{15ab}=\dfrac{a-b}{3ab}$$

Пример 2. Вычтем из дроби $\tfrac{a^2+9}{5a-15}$ дробь $\tfrac{6a}{5a-15}$:

$$\dfrac{a^2+9}{5a-15}-\dfrac{6a}{5a-15}=\dfrac{a^2+9-6a}{5a-15}=\dfrac{(a-3)^2}{5(a-3)}=\dfrac{a-3}{5}$$

Несколько дробей сразу

Если дробей три и больше, а знаменатель у всех один, удобно выполнять сложение и вычитание не последовательно, а совместно — сразу собрать один общий числитель.

Пример 3. Упростим выражение $\tfrac{x^2-3}{x^2+2x}+\tfrac{2}{x^2+2x}-\tfrac{2x-1}{x^2+2x}$:

$$\dfrac{x^2-3+2-(2x-1)}{x^2+2x}=\dfrac{x^2-1-2x+1}{x^2+2x}=\dfrac{x^2-2x}{x^2+2x}=\dfrac{x(x-2)}{x(x+2)}=\dfrac{x-2}{x+2}$$

          💡
          Как удержать знакиЧислитель каждой вычитаемой дроби сразу берите в скобки — $-(2x-1)$, а не $-2x-1$. Скобки раскроете уже после того, как весь числитель собран в одну строку: так знак минус гарантированно достанется каждому слагаемому.
        

Когда знаменатели противоположные

Иногда знаменатели двух дробей отличаются только знаком — например, $2x-a$ и $a-2x$. Это противоположные выражения: $a-2x=-(2x-a)$. Поменяв знак у знаменателя и перед самой дробью, их можно привести к одинаковому знаменателю и применить обычное правило.

Сложим дроби $\tfrac{3a}{2x-a}$ и $\tfrac{6x}{a-2x}$. Знаменатели $2x-a$ и $a-2x$ — противоположные выражения.

Изменим знак в знаменателе второй дроби и перед самой дробью: $\tfrac{6x}{a-2x}=-\tfrac{6x}{2x-a}$.

Теперь знаменатели одинаковые — применяем правило вычитания: $\tfrac{3a}{2x-a}-\tfrac{6x}{2x-a}=\tfrac{3a-6x}{2x-a}$.

Разложим числитель на множители и сократим: $\tfrac{3a-6x}{2x-a}=\tfrac{-3(2x-a)}{2x-a}=-3$.

⚠️ Частая ошибкаПри вычитании дробей теряют знак у второго числителя: пишут $\tfrac{a^2+9-6a+7}{5a-15}$ вместо $\tfrac{a^2+9-(6a-7)}{5a-15}$. Помните: знак минус относится ко всему числителю вычитаемой дроби, а не только к его первому слагаемому. И ещё: знаменатель при сложении дробей с одинаковыми знаменателями не складывается — $\tfrac{2}{7}+\tfrac{3}{7}$ это $\tfrac{5}{7}$, а не $\tfrac{5}{14}$.

🧠 ЗапомниОдинаковые знаменатели — работаем только с числителями: $\tfrac{a}{c}\pm\tfrac{b}{c}=\tfrac{a\pm b}{c}$, знаменатель не трогаем. Числитель вычитаемой дроби всегда берём в скобки. Результат в конце по возможности сокращаем — для этого числитель и знаменатель раскладываем на множители. Противоположные знаменатели $(m-n)$ и $(n-m)$ — меняем знак дроби и знаменателя, чтобы знаменатели совпали.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике