Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Правило сложения и вычитания
Складывать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями вы умеете с 5 класса: $\tfrac{2}{7}+\tfrac{3}{7}=\tfrac{2+3}{7}=\tfrac{5}{7}$ — складывают числители, а знаменатель оставляют прежним. С рациональными дробями, где в числителе и знаменателе стоят многочлены, правило работает точно так же.
📐ПравилоЧтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Чтобы выполнить вычитание — надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же:
Здесь $a$, $b$, $c$ — многочлены, причём $c$ — ненулевой многочлен. Перетяни бегунки в интерактиве справа: первая дробь и вторая дробь разбиты на одинаковые доли, поэтому их закрашенные клетки просто ссыпаются в одну общую полоску — знаменатель при этом не меняется.
Пример 1. Сложим дроби $\tfrac{3a-7b}{15ab}$ и $\tfrac{2a+2b}{15ab}$:
Если дробей три и больше, а знаменатель у всех один, удобно выполнять сложение и вычитание не последовательно, а совместно — сразу собрать один общий числитель.
Пример 3. Упростим выражение $\tfrac{x^2-3}{x^2+2x}+\tfrac{2}{x^2+2x}-\tfrac{2x-1}{x^2+2x}$:
💡Как удержать знакиЧислитель каждой вычитаемой дроби сразу берите в скобки — $-(2x-1)$, а не $-2x-1$. Скобки раскроете уже после того, как весь числитель собран в одну строку: так знак минус гарантированно достанется каждому слагаемому.
Когда знаменатели противоположные
Иногда знаменатели двух дробей отличаются только знаком — например, $2x-a$ и $a-2x$. Это противоположные выражения: $a-2x=-(2x-a)$. Поменяв знак у знаменателя и перед самой дробью, их можно привести к одинаковому знаменателю и применить обычное правило.
1
Сложим дроби $\tfrac{3a}{2x-a}$ и $\tfrac{6x}{a-2x}$. Знаменатели $2x-a$ и $a-2x$ — противоположные выражения.
2
Изменим знак в знаменателе второй дроби и перед самой дробью: $\tfrac{6x}{a-2x}=-\tfrac{6x}{2x-a}$.
3
Теперь знаменатели одинаковые — применяем правило вычитания: $\tfrac{3a}{2x-a}-\tfrac{6x}{2x-a}=\tfrac{3a-6x}{2x-a}$.
4
Разложим числитель на множители и сократим: $\tfrac{3a-6x}{2x-a}=\tfrac{-3(2x-a)}{2x-a}=-3$.
⚠️Частая ошибкаПри вычитании дробей теряют знак у второго числителя: пишут $\tfrac{a^2+9-6a+7}{5a-15}$ вместо $\tfrac{a^2+9-(6a-7)}{5a-15}$. Помните: знак минус относится ко всему числителю вычитаемой дроби, а не только к его первому слагаемому. И ещё: знаменатель при сложении дробей с одинаковыми знаменателями не складывается — $\tfrac{2}{7}+\tfrac{3}{7}$ это $\tfrac{5}{7}$, а не $\tfrac{5}{14}$.
🧠ЗапомниОдинаковые знаменатели — работаем только с числителями: $\tfrac{a}{c}\pm\tfrac{b}{c}=\tfrac{a\pm b}{c}$, знаменатель не трогаем. Числитель вычитаемой дроби всегда берём в скобки. Результат в конце по возможности сокращаем — для этого числитель и знаменатель раскладываем на множители. Противоположные знаменатели $(m-n)$ и $(n-m)$ — меняем знак дроби и знаменателя, чтобы знаменатели совпали.