Алгебра · 8 класс · Глава I · § 1 · п. 1.1

Рациональные выражения

Целые и дробные выражения

В 7 классе вы преобразовывали целые выражения — выражения без деления на переменную. Теперь в игру вступают выражения с делением на буквенное выражение, и здесь появляется новая проблема: не при любых значениях переменной такое выражение вообще имеет смысл.

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления на число (не равное нулю), называют целыми. Например: $7a^2b$, $m^3+n^3$, $(x-y)(x^2+y^2)$.

А вот выражения вида $4a-\dfrac{b}{2a+1}$ или $\dfrac{x+y}{x^2-3xy+y^2}$ содержат деление на выражение с переменной — такие выражения называют дробными.

📐 ОпределениеЦелые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями. Дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены, называют рациональной (алгебраической) дробью. Например: $\dfrac{5}{a}$, $\dfrac{b-3}{10}$, $\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}$.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях переменных — там нет запрещённых действий. А вот дробное выражение имеет смысл только при тех значениях переменных, при которых ни один знаменатель не обращается в нуль.

💡 Из жизниФормула скорости сближения $t=\dfrac{s}{v_1+v_2}$ имеет смысл, только пока $v_1+v_2 \ne 0$. Если бы поезда двигались друг от друга с одинаковой по модулю скоростью, знаменатель обратился бы в нуль — и время встречи посчитать нельзя, потому что встречи попросту не будет.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных, а их полный набор — областью допустимых значений (ОДЗ). В рациональной дроби допустимы все значения переменной, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль.

Пример 1. Находим допустимые значения

Найдём допустимые значения переменной $a$ в дроби $\dfrac{5}{a(a-9)}$. Знаменатель не должен быть равен нулю — потяни точку на числовой прямой справа и посмотри, при каких значениях $a$ дробь «ломается»: точки $a=0$ и $a=9$ подсвечены красным.

1
Знаменатель дроби — $a(a-9)$. Он не должен обращаться в нуль: $a(a-9) \ne 0$.
2
Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда оба множителя не равны нулю: $a \ne 0$ и $a-9 \ne 0$.
3
Значит, $a \ne 0$ и $a \ne 9$. Допустимы все числа, кроме 0 и 9.
⚠️ Частая ошибкаВ дроби $\dfrac{5}{a(a-9)}$ ученики часто находят только одно запрещённое значение — например, только $a=9$, забывая, что произведение $a(a-9)$ обращается в нуль ещё и при $a=0$. Проверять на равенство нулю нужно каждый множитель знаменателя по отдельности.
🧠 ЗапомниЦелое выражение $+$ дробное выражение $=$ рациональное выражение. ОДЗ рациональной дроби — все значения переменной, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль. Числитель на ОДЗ не влияет — влияет только знаменатель.
Все темы Глава I · § 1 · п. 1.2 → Основное свойство дроби. Сокращение дробей
$a(a-9)$  =  −18.0
Потяни точку — узнай, при каких $a$ дробь $\dfrac{5}{a(a-9)}$ теряет смысл