Порядок можно «перевернуть» и продолжить по цепочке
Мы уже умеем сравнивать числа через знак разности. Из этого простого правила вытекает несколько полезных свойств — ими постоянно пользуются, чтобы, не вычисляя точных значений, получать новые верные неравенства из уже известных.
📐Свойство 1 (перестановка частей)Если $a \gt b$, то $b \lt a$; если $a \lt b$, то $b \gt a$.
Это очевидно и на координатной прямой: если точка $a$ лежит правее точки $b$, то и $b$ лежит левее $a$ — это просто два способа сказать одно и то же.
📐Свойство 2 (транзитивность)Если $a \lt b$ и $b \lt c$, то $a \lt c$. Аналогично: если $a \gt b$ и $b \gt c$, то $a \gt c$.
Почему это верно. Распишем разность $a - c$, прибавив и вычтя $b$: $$a - c = (a - b) + (b - c).$$ По условию $a \lt b$ и $b \lt c$, значит обе разности $a-b$ и $b-c$ — отрицательные числа. Сумма двух отрицательных чисел тоже отрицательна, поэтому $a - c \lt 0$, то есть $a \lt c$.
💡Из жизниЕсли Петя ниже Коли, а Коля ниже Димы, то Петя точно ниже Димы — рост можно сравнить «по цепочке», даже не измеряя Петю и Диму напрямую. Это и есть транзитивность.
Прибавление одного и того же числа
📐Свойство 3Если $a \lt b$ и $c$ — любое число, то $a + c \lt b + c$.
Почему это верно. Составим разность $(a+c) - (b+c) = a - b$. Она не зависит от $c$ и по условию отрицательна ($a \lt b$), значит $a + c \lt b + c$ при любом $c$ — даже если $c$ отрицательное.
🧠ЗапомниЕсли к обеим частям верного неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство того же знака.
На схеме справа нажми «Прибавить $c$» — обе точки $a$ и $b$ сдвинутся на одинаковое расстояние, а их порядок на прямой не изменится.
Умножение и деление на число — здесь есть подвох
📐Свойство 4Если $a \lt b$ и $c \gt 0$, то $ac \lt bc$.
Если $a \lt b$ и $c \lt 0$, то $ac \gt bc$ — знак неравенства меняется на противоположный.
Почему это верно. Разность $ac - bc = c(a-b)$. Так как $a \lt b$, множитель $a-b$ отрицателен. Если $c \gt 0$, произведение $c(a-b)$ тоже отрицательно — значит $ac \lt bc$. Но если $c \lt 0$, произведение двух отрицательных чисел положительно — значит $ac \gt bc$: неравенство «переворачивается».
Так как деление — это умножение на обратное число, то же самое верно и для деления обеих частей на одно и то же число.
💡СледствиеЕсли $a$ и $b$ — положительные числа и $a \lt b$, то $\tfrac{1}{a} \gt \tfrac{1}{b}$. Чем больше положительное число, тем меньше обратная ему дробь.
⚠️Частая ошибкаУмножая или деля обе части неравенства на отрицательное число, ученики забывают поменять знак неравенства на противоположный. Например, из $2 \lt 5$ при умножении на $-1$ получится не «$-2 \lt -5$», а верно $-2 \gt -5$. Правило простое: минус в множителе — переворачиваем знак.
Попробуй на схеме справа: поставь ползунок $c$ в отрицательное значение и нажми «Умножить на $c$» — увидишь, что порядок точек меняется местами.
Пример: оценка периметра треугольника
Свойства неравенств удобны, когда точное значение числа неизвестно, но известны границы, в которых оно лежит. Пусть сторона равностороннего треугольника $a$ мм такова, что $54{,}2 \lt a \lt 54{,}3$. Оценим периметр $P = 3a$.
1Запишем известное двойное неравенство: $$54{,}2 \lt a \lt 54{,}3$$
2Периметр вычисляется по формуле $P = 3a$, а число $3$ — положительное. Значит, знак неравенства при умножении не меняется. Умножим все три части на $3$: $$54{,}2 \cdot 3 \lt 3a \lt 54{,}3 \cdot 3$$
4Значит, периметр $P$ больше $162{,}6$ мм, но меньше $162{,}9$ мм — конкретное значение $a$ нам для этого не понадобилось.
Итоги
🧠Запомни1) Если $a \gt b$, то $b \lt a$, и наоборот. 2) Если $a \lt b$ и $b \lt c$, то $a \lt c$. 3) К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) любое число — знак не меняется. 4) Обе части можно умножить (разделить) на положительное число — знак не меняется; на отрицательное — знак меняется на противоположный.