Мы уже умеем прибавлять к обеим частям неравенства одно и то же число. А что если у нас два разных верных неравенства — можно ли сложить их почленно, то есть левые части сложить с левыми, а правые — с правыми?
📐Теорема 5 (почленное сложение)Если $a \lt b$ и $c \lt d$, то $a + c \lt b + d$.
Почему это верно. Прибавим к обеим частям неравенства $a \lt b$ число $c$ — получим $a + c \lt b + c$. Прибавим к обеим частям неравенства $c \lt d$ число $b$ — получим $b + c \lt b + d$. Осталось применить транзитивность к неравенствам $a + c \lt b + c$ и $b + c \lt b + d$: получаем $a + c \lt b + d$.
💡Из жизниЕсли в одном пакете фруктов меньше, чем в другом, и в одном кошельке денег меньше, чем в другом, то и общий вес фруктов, и общая сумма денег в первой паре точно окажутся меньше, чем во второй. Складывая «меньшее с меньшим» и «большее с большим», порядок не может нарушиться.
Теорема работает и для трёх, и для любого числа неравенств одного знака — их можно складывать почленно все сразу. На схеме справа перетащи точки $a, b$ (верхняя прямая) и точки $c, d$ (средняя прямая) — на нижней прямой сразу появится результат сложения.
🧠ЗапомниЕсли почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака — без всяких условий на знаки чисел $a, b, c, d$.
Умножение неравенств — только для положительных чисел
📐Теорема 6 (почленное умножение)Если $a \lt b$ и $c \lt d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, то $ac \lt bd$.
Почему это верно. Умножим обе части неравенства $a \lt b$ на положительное число $c$ — получим $ac \lt bc$ (знак не меняется, так как $c \gt 0$). Умножим обе части неравенства $c \lt d$ на положительное число $b$ — получим $bc \lt bd$. По транзитивности из $ac \lt bc$ и $bc \lt bd$ следует $ac \lt bd$.
Теорема справедлива и для почленного умножения трёх и более неравенств такого вида — лишь бы все числа были положительными.
⚠️Частая ошибкаУсловие «$a, b, c, d$ — положительные» нельзя игнорировать: если среди чисел есть отрицательные, произведение $ac \lt bd$ может оказаться неверным. Например, перемножив почленно верные неравенства $-1 \lt 2$ и $-3 \lt 1$, получим $3 \lt 2$ — а это ложь! Прежде чем перемножать неравенства, всегда проверяй знаки всех четырёх чисел.
Переключи справа режим на «Умножение» и нажми «Пример из учебника» — увидишь именно этот случай: результат окрасится в красный цвет, потому что порядок нарушился.
📐СледствиеЕсли числа $a$ и $b$ положительны и $a \lt b$, то $a^n \lt b^n$ при любом натуральном $n$ — достаточно перемножить почленно $n$ одинаковых верных неравенств $a \lt b$.
Пример: оцениваем сумму, разность, произведение и частное
Доказанные свойства удобно применять, когда точные значения чисел неизвестны, но известны границы. Пусть $15 \lt x \lt 16$ и $2 \lt y \lt 3$. Оценим $x + y$, $x - y$, $xy$ и $x/y$.
1Дано двойное неравенство: $$15 \lt x \lt 16, \qquad 2 \lt y \lt 3.$$
2Сумма $x + y$. Складываем почленно $15 \lt x$ и $2 \lt y$, а затем $x \lt 16$ и $y \lt 3$: $$17 \lt x + y \lt 19.$$
3Разность $x - y$. Представим $x - y$ как $x + (-y)$. Из $2 \lt y \lt 3$ следует $-3 \lt -y \lt -2$. Складываем почленно с $15 \lt x \lt 16$: $$12 \lt x - y \lt 14.$$
4Произведение $xy$. Числа $x$ и $y$ положительны, поэтому можно перемножить почленно $15 \lt x \lt 16$ и $2 \lt y \lt 3$: $$30 \lt xy \lt 48.$$
5Частное $x/y$. Представим $x/y$ как $x \cdot \tfrac{1}{y}$. Из $2 \lt y \lt 3$ следует $\tfrac{1}{3} \lt \tfrac{1}{y} \lt \tfrac{1}{2}$. Перемножаем почленно с $15 \lt x \lt 16$: $$5 \lt \frac{x}{y} \lt 8.$$
Итоги
🧠Запомни1) Верные неравенства одного знака можно складывать почленно всегда — знак сохранится. 2) Верные неравенства одного знака можно перемножать почленно, только если все числа положительны — иначе результат может оказаться неверным. 3) Эти свойства позволяют оценивать сумму, разность, произведение и частное, даже не зная точных значений чисел.