8 класс · Неравенства

Числовые промежутки

Множество чисел как кусок координатной прямой

Между действительными числами и точками координатной прямой есть взаимно однозначное соответствие: каждому числу соответствует своя точка, и наоборот. Поэтому любое множество чисел можно нарисовать как кусок этой прямой — отрезок, «хвост»-луч или всю прямую целиком.

В 7 классе уже встречались открытый и замкнутый лучи, отрезок, интервал и полуинтервал. Сейчас закрепим эти названия и научимся быстро записывать любой такой числовой промежуток через неравенство и через специальное обозначение со скобками.

📐 Правило скобокЕсли граничная точка входит в промежуток (неравенство нестрогое, $\le$ или $\ge$) — ставится квадратная скобка. Если точка не входит (неравенство строгое, $<$ или $>$) — ставится круглая скобка. У знаков $-\infty$ и $+\infty$ всегда стоит круглая скобка — бесконечность никогда не является числом, «попасть» в неё нельзя.

Справа — интерактивная числовая прямая. Двигай точки-границы и переключай вкладки и скобки, чтобы увидеть, как один и тот же кусок прямой превращается то в отрезок, то в интервал.

Неравенство	Обозначение	Название
$a \le x \le b$	$[a;\,b]$	числовой отрезок
$a < x < b$	$(a;\,b)$	интервал
$a \le x < b$	$[a;\,b)$	полуинтервал
$a < x \le b$	$(a;\,b]$	полуинтервал
$x \ge a$	$[a;\,+\infty)$	числовой луч
$x > a$	$(a;\,+\infty)$	открытый числовой луч
$x \le a$	$(-\infty;\,a]$	числовой луч
$x < a$	$(-\infty;\,a)$	открытый числовой луч

Множество вообще всех действительных чисел — это вся координатная прямая целиком. Его называют числовой прямой и обозначают $(-\infty;\,+\infty)$.

Пересечение и объединение промежутков

С промежутками можно делать то же самое, что и с обычными множествами: искать общую часть (пересечение) или собирать всё вместе (объединение). Удобнее всего это видно на самой координатной прямой.

          💡
          Пример 1Найдём пересечение и объединение промежутков $[1;5]$ и $[3;7]$. На прямой видно: общая часть — от 3 до 5, а вместе они покрывают от 1 до 7:
        

$$[1;5] \cap [3;7] = [3;5]; \qquad [1;5] \cup [3;7] = [1;7].$$

          💡
          Пример 2Найдём пересечение и объединение лучей $[-4;+\infty)$ и $[3;+\infty)$. Луч $[3;+\infty)$ целиком лежит внутри луча $[-4;+\infty)$, поэтому:
        

$$[-4;+\infty) \cap [3;+\infty) = [3;+\infty); \qquad [-4;+\infty) \cup [3;+\infty) = [-4;+\infty).$$

🧠 Промежутки без общих точекЕсли у промежутков нет ни одной общей точки, их пересечение — пустое множество: $[1;4] \cap [7;+\infty) = \varnothing$. А вот объединение промежутков совсем не обязано снова быть промежутком — например, $[0;4] \cup [6;10]$ представляет собой два отдельных куска прямой, а не один непрерывный.

Итоги

⚠️ Частая ошибкаУченики часто путают, где круглая, а где квадратная скобка — ставят её «по симметрии», не глядя на знак неравенства. Смотри только на исходное неравенство: строгий знак ($<$, $>$) — круглая скобка, нестрогий ($\le$, $\ge$) — квадратная. Возле $\infty$ скобка круглая всегда, даже если неравенство нестрогое.

🧠 ЗапомниКвадратная скобка — точка входит в промежуток (нестрогое неравенство). Круглая скобка — точка не входит (строгое неравенство), а также всегда рядом с $-\infty$ и $+\infty$. Отрезок $[a;b]$ — обе границы включены, интервал $(a;b)$ — обе исключены, полуинтервал — одна включена, одна нет. Луч $[a;+\infty)$ или $(-\infty;a]$ — числовой; со строгим неравенством — открытый числовой луч.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике