Неравенство $5x - 11 > 3$ при одних значениях $x$ превращается в верное числовое неравенство, а при других — нет. Например, если подставить $x = 4$, получится $5\cdot 4 - 11 > 3$, то есть $9 > 3$ — верно. А если подставить $x = 2$, получится $-1 > 3$ — неверно.
📐ОпределениеРешением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Числа $100$, $180$, $1000$ — решения неравенства $5x-11>3$, а числа $2$; $0{,}5$; $-5$ им не являются. Неравенства с одинаковым множеством решений называют равносильными (неравенства без решений тоже считаются равносильными друг другу).
Два свойства, которые дают равносильное неравенство
Чтобы решать неравенства, их упрощают шаг за шагом, заменяя равносильным — но более простым. Разрешены только два действия:
1Можно перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, поменяв у него знак — получится равносильное неравенство.
2Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число — знак неравенства не меняется. А если умножить или разделить на одно и то же отрицательное число — знак неравенства нужно поменять на противоположный.
💡Почему при делении на отрицательное знак меняетсяНеравенство $18+6x>0$ равносильно $6x>-18$ (перенесли $18$ с противоположным знаком), а оно равносильно $x>-3$ (разделили на $6$ — число положительное, знак остался). Если бы вместо этого мы делили на отрицательное число, порядок чисел на координатной прямой перевернулся бы: например, $2>1$, но после умножения на $-1$ получаем $-2$ и $-1$, а верно уже $-2<-1$ — знак сравнения обязан поменяться, иначе неравенство станет неверным.
Линейные неравенства: разбираем примеры
В каждом примере заданное неравенство сводят к равносильному неравенству вида $ax > b$ или $ax < b$ — такие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной. Справа — интерактивный разбор двух примеров из учебника: нажимай «Далее», чтобы увидеть каждый шаг решения и ответ на координатной прямой.
Иногда после переноса и приведения подобных получается неравенство вида $0\cdot x > b$ или $0\cdot x < b$. Тогда всё зависит от знака $b$: если такое неравенство неверно ни при каком $x$ — решений нет; если верно при любом $x$ — решением служит любое число.
💡Пример: решений нетРешим неравенство $2(x+8) - 5x < 4 - 3x$. Раскрываем скобки: $2x+16-5x < 4-3x$. Переносим и приводим подобные: $0\cdot x < -12$. Это неравенство неверно при любом $x$ (ведь $0 < -12$ — ложь), значит, у исходного неравенства решений нет.
💡Неравенство с дробямиРешим $\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2} < 2$. Умножим обе части на общий знаменатель дробей — число $6$ (оно положительное, знак не меняется): $2x - 3x < 12$, то есть $-x < 12$, откуда $x > -12$. Ответ: $(-12;\,+\infty)$.
Итоги
⚠️Частая ошибкаСамая частая ошибка — забыть поменять знак неравенства при делении или умножении обеих частей на отрицательное число. Например, из $-10x > 34$ ошибочно получают $x > -3{,}4$ вместо верного $x < -3{,}4$. Проверка простая: делишь на минус — переворачивай знак, всегда.
🧠ЗапомниСлагаемое можно переносить в другую часть неравенства со сменой знака. При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется, на отрицательное — меняется на противоположный. Результат решения линейного неравенства — числовой промежуток (луч), а не одно число.