8 класс · Неравенства

Решение систем неравенств с одной переменной

Зачем нужна система неравенств

Турист вышел с турбазы к станции, расположенной в $20$ км. Если он увеличит скорость на $1$ км/ч, то за $4$ ч пройдёт больше $20$ км. Если уменьшит скорость на $1$ км/ч, то даже за $5$ ч не успеет дойти. Какова скорость туриста?

Пусть скорость туриста $x$ км/ч. Тогда по условию должны выполняться сразу оба требования: $4(x+1) > 20$ и $5(x-1) < 20$. Такую пару неравенств, которые нужно решить одновременно, записывают фигурной скобкой и называют системой неравенств.

📐 ОпределениеРешением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Упростив оба неравенства туриста, получим систему $\begin{cases}x>4\\x<5\end{cases}$, то есть $4 < x < 5$. Ответ: скорость туриста больше $4$ км/ч, но меньше $5$ км/ч.

Как решать: ищем пересечение, а не объединение

Чтобы решить систему неравенств, каждое неравенство сначала упрощают отдельно — так же, как обычное неравенство (см. предыдущий параграф) — до простого вида $x > a$ или $x < b$.

1 Решаем первое неравенство системы и получаем его множество решений.
2 Решаем второе неравенство системы и получаем его множество решений.
3 Отмечаем оба множества на одной координатной прямой и находим их пересечение — общую часть, где выполняются сразу оба условия.
💡 Двойное неравенство — та же система, корочеЗапись $-1 < 3+2x < 3$ — это компактная форма системы $\begin{cases}3+2x>-1\\3+2x<3\end{cases}$. Решать её удобно сразу целиком: $-1 < 3+2x < 3 \;\Rightarrow\; -4 < 2x < 0 \;\Rightarrow\; -2 < x < 0$ — то же самое действие выполняется одновременно над всеми тремя частями.

Четыре исхода пересечения

В зависимости от того, куда «смотрят» лучи-решения обоих неравенств, пересечение получается разным: конечный промежуток, бесконечный луч — или вовсе пустое множество, если лучи направлены в разные стороны и не перекрываются. Справа — интерактивный разбор четырёх примеров: переключай вкладки и нажимай «Далее», чтобы увидеть, как строится каждое решение на координатной прямой.

На рисунке верхняя цветная линия — множество решений первого неравенства, средняя — второго, а на самой координатной прямой (внизу) выделяется их общая часть — окончательный ответ.

Итоги

⚠️ Частая ошибкаРешение системы — это пересечение множеств решений (там, где верны оба неравенства сразу), а не их объединение (там, где верно хотя бы одно). Например, для $\begin{cases}x>3{,}5\\x<6\end{cases}$ неверно писать ответ «$x>3{,}5$ или $x<6$» — это вообще все числа. Верный ответ — только общая часть: $(3{,}5;\,6)$.
🧠 ЗапомниРешаем каждое неравенство системы отдельно, приводим к виду $x>a$ или $x < b$, затем находим пересечение полученных множеств на координатной прямой. Если лучи не перекрываются — система не имеет решений, и это тоже полноценный ответ.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике