Раньше ты решал неравенства — искал, при каких значениях $x$ они верны. Но бывают утверждения другого рода: неравенство должно быть верным сразу для всех допустимых значений переменной, а не для какого-то одного числа. Например: «для любого положительного числа сумма самого числа и обратного ему не меньше двух». Это уже не задача «найди $x$» — это факт, который нужно обосновать.
📐Метод оценки разностиОдин из основных приёмов доказательства неравенств: составляют разность левой и правой частей неравенства и показывают, что эта разность сохраняет знак (остаётся положительной или отрицательной) при всех допустимых значениях переменных.
Метод 1: оцениваем разность левой и правой части
Докажем, что $2\sqrt{a+1} > \sqrt a+\sqrt{a+2}$ при $a\ge 0$.
1Составим разность левой и правой частей и сгруппируем слагаемые попарно: $2\sqrt{a+1}-\sqrt a-\sqrt{a+2}=(\sqrt{a+1}-\sqrt a)+(\sqrt{a+1}-\sqrt{a+2})$.
2Каждую скобку домножим на сопряжённое выражение, чтобы избавиться от иррациональности в числителе: $\sqrt{a+1}-\sqrt a=\tfrac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt a}$, а $\sqrt{a+1}-\sqrt{a+2}=-\tfrac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}$.
3Значит, вся разность равна $\tfrac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt a}-\tfrac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}}$ — теперь сравниваем эти две дроби между собой.
4Функция $y=\sqrt x$ возрастающая, поэтому $\sqrt a \lt \sqrt{a+2}$ — значит, знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй. Первая дробь больше второй, а их разность положительна. Неравенство доказано для любого $a\ge 0$.
💡Почему меньший знаменатель — это большеПредставь, что делишь одну и ту же плитку шоколада на $5$ частей и на $6$ частей. Кусок, который делили на меньшее число частей, всегда крупнее. Так же и с дробями вида $\tfrac1x$: чем меньше знаменатель (при том же числителе), тем больше значение дроби. Именно это мы использовали в шаге 4.
Метод 2: опираемся на уже известные неравенства
Второй приём — показать, что нужное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых уже установлена. Докажем, что при $a>0$, $b>0$, $c>0$ верно $(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)\ge 8a^2b^2c^2$.
1Известное соотношение: для любых двух положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, $\tfrac{m+n}{2}\ge\sqrt{mn}$.
2Применим его трижды: $\tfrac{a^2+bc}{2}\ge\sqrt{a^2bc}$, $\tfrac{b^2+ac}{2}\ge\sqrt{b^2ac}$, $\tfrac{c^2+ab}{2}\ge\sqrt{c^2ab}$.
3Перемножим все три неравенства (все части положительны, перемножать можно почленно): $\tfrac{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}{8}\ge\sqrt{a^4b^4c^4}=a^2b^2c^2$, откуда и получаем нужное неравенство.
Метод 3: очевидные соотношения и почленное сложение
Иногда неравенство удаётся доказать, опираясь на совсем простые, «очевидные» факты — например, что $\sqrt{x+1} > \sqrt x$ при любом $x\ge 0$. Так в учебнике доказывается двойное неравенство $\sqrt{x+1}-\sqrt x \lt \tfrac{1}{2\sqrt x} \lt \sqrt x-\sqrt{x-1}$ при $x\ge 1$ — обе разности заменяют на равные им дроби и сравнивают знаменатели, как в методе 1.
Ещё один вариант того же приёма — почленное сложение нескольких верных неравенств. Так доказывают, что при любом натуральном $n>1$ сумма $\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{n+2}+\cdots+\tfrac{1}{2n}$ больше $\tfrac12$: каждое из $n$ слагаемых суммы больше, чем $\tfrac{1}{2n}$, а сложив $n$ таких неравенств почленно, получаем сумму больше $n\cdot\tfrac{1}{2n}=\tfrac12$.
Справа — оба примера можно проверить самому: подвигай ползунок и посмотри, как соотносятся величины при разных значениях параметра.
Итоги
⚠️Частая ошибкаДоказать неравенство — значит показать, что оно верно для всех допустимых значений переменной, а не для одного удобного числа. Подстановка «$a=2$, посчитал — сошлось» — это проверка примера, а не доказательство. Нужны именно рассуждения (оценка разности, ссылка на известное неравенство или почленное сложение), верные при любом $a$.
🧠ЗапомниТри основных приёма доказательства неравенств: 1) составить разность левой и правой части и показать, что она не меняет знак; 2) свести неравенство к уже известным (например, к среднему арифметическому и геометрическому); 3) опереться на очевидные соотношения и сложить (или перемножить) несколько верных неравенств почленно.