Алгебра 7 класс: Иррациональные числа

Дроби, у которых совсем нет периода

Мы уже знаем: любая бесконечная десятичная дробь, разложение которой получено из обыкновенной дроби, рано или поздно начинает повторяться — становится периодической. Но что если построить бесконечную дробь так, чтобы она заведомо никогда не повторялась?

Рассмотрим дробь $0{,}1011011101111\ldots$ — после запятой в ней записаны группы единиц: одна единица, потом две, потом три, потом четыре и так далее, а между группами стоит по одному нулю.

        💡 Из жизни: представь очередь, где сначала проходит 1 человек, потом
        пауза, потом 2 человека, пауза, потом 3, пауза, потом 4… Очередь никогда не повторяет
        уже пройденный участок — каждый следующий «заход» длиннее всех предыдущих.
      

Почему у неё нет периода

Докажем это рассуждением от противного — предположим обратное и увидим, что оно приводит к противоречию.

Допустим, что у дроби всё-таки есть период — то есть с какого-то места одна и та же группа цифр повторяется бесконечно.

Раз в дроби вообще встречаются нули (между группами единиц), период обязан содержать хотя бы один нуль — иначе он состоял бы из одних единиц, а нули в дроби так и не появлялись бы.

Но какой бы длины ни был этот период, дальше в дроби найдётся группа единиц ещё большей длины — а внутри неё вообще нет ни одного нуля.

Значит, предполагаемый период обязан был бы «попасть» внутрь такой сплошной группы единиц — но тогда в нём не может быть нуля. Противоречие с шагом 2. Период невозможен: дробь непериодическая.

Определение. Бесконечную непериодическую десятичную дробь называют иррациональным (нерациональным) числом. Раз дробь не может быть разложением никакого рационального числа, она задаёт число нового вида.

Ещё примеры и знак у иррационального числа

Иррациональных чисел много, и строить их можно по-разному — лишь бы дробь никогда не входила в повтор. Например: $0{,}01001000100001\ldots$ — тут после каждой единицы число нулей растёт (1, потом 2, потом 3, потом 4 нуля…), и $17{,}123456789101112\ldots$ — здесь после запятой просто подряд выписаны числа натурального ряда $1, 2, 3, 4, \ldots$

Как и с рациональными числами, перед иррациональным можно поставить знак. Если поставить «+» — число не изменится:

$$0{,}01001000100001\ldots = +0{,}01001000100001\ldots$$

А если перед положительной иррациональной дробью поставить «−», получится противоположное ей отрицательное иррациональное число, например $-0{,}01001000100001\ldots$ или $-17{,}123456789101112\ldots$.

⚠️ Частая ошибка: считать, что любая бесконечная дробь — иррациональная. Это не так: дробь $0{,}(3) = 0{,}3333\ldots$ тоже бесконечная, но она периодическая — а значит, всё равно рациональная (это разложение числа $\tfrac13$). Иррациональным число делает не «бесконечность», а именно отсутствие периода.

Запомни

🧠 Бесконечная непериодическая десятичная дробь — это иррациональное число. У иррационального числа, как и у рационального, есть знак «+» или «−». Главный признак: сколько бы цифр ни прошло, никакая группа цифр не начинает повторяться бесконечно.

← Глава 1 · §2 · п.5 Десятичное разложение рациональных чисел Все темы Глава 1 · §3 · п.2 → Понятие действительного числа