Алгебра 7 класс: Десятичное разложение рациональных чисел

От натуральных чисел к целым

Перед любым натуральным числом можно поставить знак «+» — от этого число не изменится: $2 = +2$, $100 = +100$. А вот если поставить перед натуральным числом знак «−», получится новое число — целое отрицательное. Например, $-2$, $-9$, $-123$ — целые отрицательные числа.

Определение. Натуральные числа, целые отрицательные числа и число $0$ вместе образуют множество целых чисел.

Сумма, разность и произведение любых двух целых чисел — тоже целое число. А вот частное двух целых чисел целым числом быть не обязано: например, $7 : 2$ — уже не целое число.

От целых к рациональным: знак у дроби

Тот же самый приём со знаком работает и для дробей. Если поставить перед обыкновенной дробью знак «+», дробь не изменится. А если поставить перед положительной дробью знак «−», получится противоположная ей дробь — отрицательное рациональное число. Например, $-\tfrac{1}{3}$, $-\tfrac{7}{2}$, $-\tfrac{9}{4}$, $-2$ — отрицательные рациональные числа.

        💡 Из жизни: отрицательное рациональное число работает так же, как
        температура ниже нуля или долг. $-1{,}5$ °C — это на $1{,}5$ градуса холоднее нуля, а
        долг в $-\tfrac{3}{4}$ буханки хлеба — это то, что нужно вернуть.
      

Знак «−» у отрицательной дроби можно записать не только перед всей дробью, но и внутри неё — в числителе или в знаменателе. Все три записи означают одно и то же число:

$$-\frac{1}{3} = \frac{-1}{3} = \frac{1}{-3}$$

Определение. Положительные дроби, отрицательные дроби и число $0$ вместе образуют множество рациональных чисел. Любое рациональное число можно записать в виде $\dfrac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа и $q \ne 0$.

Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел — снова рациональные числа (на $0$ делить нельзя ни в коем случае). Так множества чисел вкладываются друг в друга: натуральные числа лежат внутри целых, а целые — внутри рациональных.

Десятичное разложение — и для отрицательных чисел тоже

Мы уже знаем: любое положительное рациональное число раскладывается в периодическую десятичную дробь (конечную дробь при этом считаем периодической — с периодом $0$). Поставив перед такой дробью знак «+», ничего не меняем. А поставив знак «−» — получаем отрицательную периодическую дробь, которая и есть десятичное разложение отрицательного рационального числа.

Теорема. Каждое рациональное число раскладывается в периодическую дробь — эту дробь называют десятичным разложением числа. И наоборот: каждая периодическая дробь (со знаком «+», «−» или без знака) — это десятичное разложение некоторого рационального числа.

Посмотри на четыре примера справа — $-\tfrac{3}{7}$, $\tfrac{9}{16}$, $-\tfrac{511}{90}$ и $\tfrac{17}{99}$ — среди них есть и положительные, и отрицательные, и конечная дробь, и бесконечные периодические.

Особый случай — число $0$: у него тоже есть десятичное разложение, и знак на него никак не влияет:

$$0 = 0{,}(0) = +0{,}(0) = -0{,}(0)$$

⚠️ Частая ошибка: при разложении отрицательной дроби в десятичную ученики раскладывают только положительную часть, а про знак «−» забывают — вместо $-\tfrac{3}{7} = -0{,}(428571)$ пишут $0{,}(428571)$ без минуса. Знак — часть числа, он переходит в десятичную запись точно так же, как и в обыкновенную дробь.

Запомни

🧠 Натуральные числа $\subset$ целые числа $\subset$ рациональные числа. Любое рациональное число — это $\dfrac{p}{q}$ ($p, q$ целые, $q \ne 0$), и у любого такого числа есть десятичное разложение: периодическая дробь с тем же знаком, что и у самого числа (конечная дробь — частный случай с периодом $0$).

← Глава 1 · §2 · п.4* Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби Все темы Глава 1 · §3 · п.1 → Иррациональные числа

Выбирай число сверху — смотри его десятичное разложение со знаком.