Мы уже знаем два вида бесконечных десятичных дробей: периодические
(получаются из обыкновенных дробей и задают рациональные числа) и
непериодические (задают иррациональные числа). Оба вида —
это просто бесконечные десятичные дроби, только с разным поведением цифр после
запятой.
Определение. Рациональные и иррациональные числа вместе называют
действительными числами.
Любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: если
число рациональное — дробь периодическая, если иррациональное — непериодическая.
💡 Из жизни: представь два ящика с инструментами — в одном лежат
«дроби с повтором» (рациональные числа), в другом «дроби без повтора» (иррациональные).
Действительное число — это любой инструмент из обоих ящиков сразу: не важно из
какого именно, важно что это бесконечная десятичная дробь.
Как называют цифры дроби — целая часть и разряды
Число до запятой у положительной бесконечной десятичной дроби называют
целой частью этой дроби. Первую цифру после запятой называют
цифрой первого разряда, вторую — цифрой второго разряда,
третью — цифрой третьего разряда и так далее.
Чтобы записать произвольную дробь буквами, целую часть обозначают через
$\alpha_0$ (это ноль или натуральное число), цифру первого разряда — через
$\alpha_1$, второго — через $\alpha_2$, третьего — через $\alpha_3$ и так далее.
Тогда положительная дробь записывается так:
При этом хотя бы одна из цифр $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots$ отлична от
нуля — иначе всё число было бы равно нулю. Попробуй в интерактиве переключать
примеры и наводить курсор на $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2$ ниже — цифры подсветятся
прямо в записи числа.
$\alpha_0$ —
$\alpha_1$ —
$\alpha_2$ —
$\alpha_3$
Знак числа и противоположные числа
Поставив перед положительной десятичной дробью знак «−», получают
отрицательную десятичную дробь $-\alpha_0{,}\alpha_1\alpha_2\alpha_3\ldots$
Числа $\alpha_0{,}\alpha_1\alpha_2\ldots$ и $-\alpha_0{,}\alpha_1\alpha_2\ldots$
называют противоположными числами.
1
Если одно из противоположных чисел обозначено буквой $a$, то другое
обозначают через $-a$.
2
Если $a$ — положительное число, то $(-a)$ — отрицательное.
3
Если $a$ — отрицательное число, то $(-a)$ — положительное.
4
Если $a = 0$, то и $(-a) = 0$ — у нуля нет «своего» знака, он противоположен
сам себе. Проверь это в интерактиве: у примера $c$ кнопка переключения знака
ничего не меняет.
⚠️ Частая ошибка: думать, что запись $-a$ обязательно означает
«отрицательное число». Это не так! Если само $a$ уже отрицательно, то $-a$ —
положительное. Знак минус перед буквой означает лишь «число, противоположное $a$»,
а не «отрицательное число».
Абсолютная величина (модуль)
Определение.Абсолютной величиной (или модулем)
действительного числа $a$ называют: само число $a$, если $a$ — положительное;
нуль, если $a = 0$; число $(-a)$, если $a$ — отрицательное. Обозначается $|a|$.
Например, пусть $a = 0{,}10110111\ldots$, $b = -2{,}1234567891011\ldots$,
$c = 0{,}(0)$. Тогда $|a| = 0{,}10110111\ldots$, $|b| = 2{,}1234567891011\ldots$,
$|c| = 0$. Модуль убирает знак минус и оставляет только «величину» числа — его
расстояние от нуля.
💡 Из жизни: модуль — это как показания спидометра. Машина может
ехать вперёд или назад (знак скорости меняется), но спидометр всегда показывает
только положительное число — «сколько километров в час», без разницы в какую
сторону.
Запомни
🧠 Действительное число = рациональное или иррациональное —
любая бесконечная десятичная дробь. Целая часть — $\alpha_0$, разряды после
запятой — $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots$ Числа $a$ и $-a$ —
противоположные: у положительного $a$ число $-a$ отрицательно,
у отрицательного — наоборот, а у нуля $-a = a = 0$. Модуль $|a|$ всегда
неотрицателен: он «снимает» минус и показывает величину числа.