Функцией называют такую зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$. Переменную $x$ называют независимой переменной, или аргументом, а переменную $y$ — зависимой переменной (или говорят, что $y$ является функцией от $x$).
Если зависимость $y$ от $x$ является функцией, это коротко записывают так: $y=f(x)$ (читают «$y$ равно $f$ от $x$»). Символом $f(x)$ обозначают и само правило, и конкретное значение функции при данном значении аргумента. Вместо буквы $f$ используют и другие буквы: $g$, $\varphi$ и т. п.
Пусть функция задана формулой $y=2x^2-6$, тогда можно записать $f(x)=2x^2-6$. Найдём значения функции при $x=2{,}5$ и $x=-3$:
$$f(2{,}5)=2\cdot 2{,}5^2-6=6{,}5,\qquad f(-3)=2\cdot(-3)^2-6=12.$$Функция $y=f(x)$ считается заданной, если указана область определения и правило, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции. Если функция задана формулой, а область определения не указана отдельно, то считают, что $D(f)$ состоит из всех значений $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл.
Например, областью определения функции $f(x)=5x+x^2$ является множество всех чисел, а областью определения функции $g(x)=\tfrac{1}{x+3}$ — множество всех чисел, кроме $-3$ (знаменатель дроби не может обращаться в нуль).
Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий: например, зависимость длины $l$ железного стержня от температуры $t$ выражается формулой $l=l_0(1+at)$, и хотя сама формула имеет смысл при любых $t$, областью определения такой функции служит лишь тот промежуток температур, для которого справедлив закон линейного расширения.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Например, если график функции $y=f(x)$ задан на отрезке $[-3;\,7]$ и по нему видно, что наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее — $4$, причём любое число от $-2$ до $4$ достигается, то $D(f)=[-3;\,7]$, а $E(f)=[-2;\,4]$. Справа можно переключаться между четырьмя графиками и двигать ползунок $x$ — пунктирные линии покажут, как точка графика проецируется на обе оси.
Такими функциями описываются реальные закономерности: прямой пропорциональностью — зависимость массы тела $m$ от объёма $V$ при постоянной плотности ($m=\rho V$); обратной пропорциональностью — зависимость силы тока $I$ от сопротивления $R$ при постоянном напряжении.