Пусть график описывает, как менялась температура воздуха $P$ (в градусах Цельсия) в течение суток в зависимости от времени $t$ (в часах). По одному только графику, без единой формулы, можно рассказать очень многое: когда температура была равна нулю, когда была выше нуля, а когда — ниже, и когда она росла, а когда падала.
🌡️Аналогия — термометр за окномСмотришь на график температуры за сутки и без всяких вычислений видишь: в 2 ч и в 8 ч термометр показывал ровно 0°, с полуночи до 2 ч и с 8 ч до конца суток было теплее нуля, а с 2 до 8 ч — холоднее нуля. При этом первые пять часов холодало, потом с 5 до 14 ч теплело, а затем снова холодало. Всё это — свойства функции $P=f(t)$, которые видно прямо по картинке.
Дальше разберём эти же свойства на графике попроще: функции $y=f(x)$, заданной на отрезке $-5\le x\le 9$. Справа изображён именно такой график — на нём можно переключать, что подсвечивать: нули функции, промежутки знакопостоянства или промежутки возрастания и убывания, а ползунком двигать пробную точку по кривой.
Нули функции
🎯ОпределениеЗначения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции.
Чтобы найти нули функции по графику, нужно найти абсциссы точек пересечения графика с осью $x$. Для функции $y=f(x)$ на отрезке $[-5;\,9]$ график пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $x=-3$ и $x=7$. Значит, функция обращается в нуль при $x=-3$ и при $x=7$ — это и есть её нули.
Промежутки знакопостоянства
➕➖ОпределениеПромежутки, на которых функция сохраняет знак (то есть принимает только положительные или только отрицательные значения), называют промежутками знакопостоянства.
Нули функции разбивают её область определения $[-5;\,9]$ на три промежутка: $[-5;\,-3)$, $(-3;\,7)$ и $(7;\,9]$. Для $x$ из промежутка $(-3;\,7)$ точки графика лежат выше оси $x$ — там функция принимает положительные значения. А на каждом из промежутков $[-5;\,-3)$ и $(7;\,9]$ график лежит ниже оси $x$ — там значения функции отрицательные.
Сама точка нуля не входит ни в один из промежутков знакопостоянства — ведь в ней значение функции равно нулю, а не положительно и не отрицательно.
Возрастание и убывание функции
1Смотрим, как меняется $y$, когда $x$ растёт от $-5$ до $3$: график идёт вверх слева направо — значения функции увеличиваются.
2Смотрим, как меняется $y$, когда $x$ растёт от $3$ до $9$: график идёт вниз слева направо — значения функции уменьшаются.
3Значит, на промежутке $[-5;\,3]$ функция $y=f(x)$ является возрастающей, а на промежутке $[3;\,9]$ — убывающей.
📈ОпределениеФункция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Иными словами: функция $y=f(x)$ возрастает на промежутке, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из условия $x_2>x_1$ следует $f(x_2)>f(x_1)$. Функция убывает на промежутке, если из условия $x_2>x_1$ следует $f(x_2) \lt f(x_1)$.
Итоги
⚠️Частая ошибкаТочку поворота графика (у нас это $x=3$) ученики часто пытаются отнести только к одному из промежутков — либо только к возрастанию, либо только к убыванию. На самом деле она принадлежит обоим промежуткам сразу: пишут $[-5;\,3]$ — возрастает и $[3;\,9]$ — убывает, с квадратной скобкой на обеих границах. А вот нули функции, наоборот, никогда не входят в промежутки знакопостоянства — там всегда ставится круглая скобка.
🧠ЗапомниНули функции — точки пересечения графика с осью $x$. Промежутки знакопостоянства — где график целиком выше оси $x$ (значения положительны) или целиком ниже (значения отрицательны), нули в них не входят. Функция возрастает, если большему $x$ соответствует большее $f(x)$, и убывает, если большему $x$ соответствует меньшее $f(x)$ — точка поворота входит в оба соседних промежутка монотонности.