Линейной функцией называют функцию, заданную формулой $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа, причём $k \ne 0$. Мы уже строили графики таких функций — они всегда прямые линии. Теперь разберёмся, как по числам $k$ и $b$, ещё не построив график, сразу сказать всё важное о функции: где она равна нулю, где положительна, а где отрицательна, и растёт она или убывает.
🚕Аналогия — счётчик таксиПусть стоимость поездки считается по формуле $y = 20x + 150$, где $x$ — число километров, $y$ — стоимость в рублях. Число $150$ — это посадка, плата ещё до движения (при $x=0$), а $20$ — плата за каждый километр. Похожая формула получается, если, наоборот, у водителя есть скидочный купон на $150$ рублей: тогда стоимость $y = 20x - 150$ на старте отрицательна, и счётчик "выходит в плюс" только после нескольких километров пути — то есть у функции есть точка, где она обращается в нуль.
Справа — координатная плоскость с графиком функции $y=kx+b$. Ползунками можно менять $k$ и $b$ и сразу видеть, как это отражается на графике; ползунок $x$ позволяет проверить значение функции в конкретной точке.
Область определения и множество значений
📐Свойства 1 и 2Функция $y=kx+b$ определена при любых значениях $x$, то есть $D(y) = \mathbb{R}$. Значением функции может быть любое число, то есть $E(y) = \mathbb{R}$.
Это видно уже по самой формуле: чтобы найти $y$, годится любое число $x$ — умножить на $k$ и прибавить $b$ можно всегда. А поскольку прямая на графике идёт "от края и до края" плоскости, не обрываясь ни сверху, ни снизу, она принимает абсолютно все значения $y$.
Нуль функции
🎯Свойство 3Функция $y=kx+b$ обращается в нуль при $x = -\dfrac{b}{k}$.
1Решим уравнение $kx + b = 0$: переносим $b$ в правую часть, получаем $kx = -b$.
2Делим обе части на $k$ (можно — ведь $k \ne 0$): $x = -\dfrac{b}{k}$.
Промежутки знакопостоянства
➕➖Свойство 4Знак функции слева и справа от нуля зависит от знака $k$.
Если $k > 0$, то $y \lt 0$ на промежутке $\left(-\infty;\,-\dfrac{b}{k}\right)$ и $y \gt 0$ на промежутке $\left(-\dfrac{b}{k};\,+\infty\right)$ — то есть функция сначала отрицательна, потом положительна.
Если $k \lt 0$, то, наоборот, $y \gt 0$ на промежутке $\left(-\infty;\,-\dfrac{b}{k}\right)$ и $y \lt 0$ на промежутке $\left(-\dfrac{b}{k};\,+\infty\right)$.
Возрастание и убывание
📈Свойство 5При $k \gt 0$ функция $y=kx+b$ является возрастающей, а при $k \lt 0$ — убывающей на всей числовой прямой.
Докажем это. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента, причём $x_2 \gt x_1$. Обозначим $y_1 = kx_1+b$ и $y_2 = kx_2+b$.
2Множитель $x_2-x_1$ положителен, ведь мы взяли $x_2 \gt x_1$. Значит, знак всего произведения $k(x_2-x_1)$ определяется только знаком $k$.
3Если $k \gt 0$, то $k(x_2-x_1) \gt 0$, откуда $y_2 \gt y_1$ — большему $x$ соответствует большее $y$, функция возрастает.
4Если $k \lt 0$, то $k(x_2-x_1) \lt 0$, откуда $y_2 \lt y_1$ — большему $x$ соответствует меньшее $y$, функция убывает.
Итоги
⚠️Частая ошибкаПри поиске нуля функции многие забывают минус и пишут $x = \dfrac{b}{k}$ вместо верного $x = -\dfrac{b}{k}$. Проверяйте себя подстановкой: если $x_0 = -b/k$, то $kx_0+b = k\cdot\left(-\dfrac{b}{k}\right)+b = -b+b = 0$ — сходится.
🧠ЗапомниДля $y=kx+b$ ($k\ne 0$): $D(y)=E(y)=\mathbb{R}$; нуль функции — $x=-b/k$; знак слева и справа от нуля зависит от знака $k$ (при $k\gt0$ сначала минус, потом плюс; при $k\lt0$ — наоборот); функция возрастает при $k\gt0$ и убывает при $k\lt0$ на всей числовой прямой.