Функция $y = \dfrac{k}{x}$ — обратная пропорциональность
Функцию, заданную формулой $y = \dfrac{k}{x}$, где $k \ne 0$ — некоторое число, называют обратной пропорциональностью. Мы уже строили её график — он называется гиперболой и состоит из двух отдельных "веток". Разберёмся, что можно сказать про эту функцию, не строя график: где она определена, где положительна, а где отрицательна, и растёт она или убывает.
🚗Аналогия — путь и скоростьЕсли расстояние между городами постоянно и равно $k$ километрам, то время в пути $y$ и скорость $x$ связаны формулой $y = k/x$: чем быстрее едешь, тем меньше времени тратишь. Скорость $x=0$ не имеет смысла (машина стоит на месте — никогда не доедет), поэтому ноль сразу выпадает из области определения. А время $y$ никогда не станет равным нулю: сколько бы ни разгонялся, доехать мгновенно нельзя.
Справа — координатная плоскость с графиком функции $y = k/x$. Ползунок $k$ меняет форму гиперболы и то, в каких координатных четвертях лежат её ветви.
Область определения, значения и нули
📐Свойства 1, 2 и 3Функция $y=\dfrac{k}{x}$ определена при всех $x$, кроме нуля: $D(y) = (-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$. Значением функции тоже может быть любое число, кроме нуля: $E(y) = (-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$. Нулей у функции нет.
Дробь $k/x$ не определена при $x=0$ (на ноль делить нельзя) — отсюда пропуск в области определения. А нулей у функции быть не может: дробь $k/x$ обращается в нуль, только если числитель $k=0$, но по условию $k\ne 0$ — значит, ни при каком $x$ значение $y$ не станет нулём.
Знак функции: где плюс, где минус
➕➖Свойство 4Знак функции $y=k/x$ на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$ зависит от знака $k$.
При $k \gt 0$дробь $k/x$ отрицательна при $x \lt 0$ и положительна при $x \gt 0$ — ведь делить положительное число на отрицательное даёт отрицательный результат, а на положительное — положительный.
При $k \lt 0$, наоборот, $y$ положительна при $x \lt 0$ и отрицательна при $x \gt 0$. Обоснование то же самое, только знак $k$ меняет всё на противоположное.
Возрастание и убывание на каждом луче
📉Свойство 5При $k \gt 0$ функция $y=k/x$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$. При $k \lt 0$ функция возрастает на каждом из этих промежутков.
Доказывается это так же, как для линейной функции — через разность значений $y_2-y_1$ при $x_2 \gt x_1$ на одном и том же луче. Убедиться в этом можно и на графике: двигая точки $x_1$ и $x_2$ по правой ветви гиперболы, видно, как меняются соответствующие $y_1$ и $y_2$.
Важная тонкость
⚠️Частая ошибкаУченики часто говорят "функция $y=k/x$ убывает" (или "возрастает"), не уточняя — на каком промежутке. Но это неверно для всей области определения сразу! Функция убывает (или возрастает) только на каждом луче отдельно. В целом, на всей области определения, она не является ни убывающей, ни возрастающей: при переходе через разрыв $x=0$ значения "перескакивают" с одного знака на другой.
Функция $y = \sqrt{x}$
Теперь рассмотрим функцию, заданную формулой $y=\sqrt{x}$. Раньше мы уже встречали квадратный корень при решении уравнений — теперь посмотрим на него как на функцию, у которой есть свой график и свои свойства.
🟩Аналогия — сторона квадрата по площадиЕсли площадь квадрата равна $x$, то длина его стороны равна $y=\sqrt{x}$. Площадь не может быть отрицательной — вот почему $x$ должен быть неотрицательным. И чем больше площадь, тем длиннее сторона — то есть функция только растёт, никогда не убывает.
Область определения, значения и нуль
📐Свойства 1, 2 и 3Функция $y=\sqrt{x}$ определена при всех неотрицательных $x$: $D(y) = [0;\,+\infty)$. Она принимает только неотрицательные значения, причём любое неотрицательное число может быть её значением: $E(y) = [0;\,+\infty)$. Функция обращается в нуль при $x=0$.
В отличие от $y=k/x$, здесь ноль входит и в область определения, и в множество значений: $\sqrt{0}=0$ — вполне законное равенство.
Функция $y=\sqrt{x}$ возрастает
📈Свойство 4Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения.
Докажем это. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента, причём $x_2 \gt x_1 \gt 0$. Обозначим $y_1=\sqrt{x_1}$ и $y_2=\sqrt{x_2}$.
1Рассмотрим разность $y_2-y_1=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}$ и домножим на "сопряжённое выражение", чтобы избавиться от корней в числителе:
3Так как $x_2-x_1 \gt 0$ (по условию) и $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1} \gt 0$ (сумма корней положительна), то и вся дробь положительна: $y_2-y_1 \gt 0$, то есть $y_2 \gt y_1$. Большему $x$ соответствует большее $y$ — значит, функция возрастает.
Запомни
🧠ИтогиДля $y=k/x$ ($k\ne0$): $D(y)=E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, нулей нет; знак на каждом луче зависит от знака $k$; на каждом луче функция убывает при $k\gt0$ и возрастает при $k\lt0$ — но в целом на всей области определения не монотонна.
Для $y=\sqrt{x}$: $D(y)=E(y)=[0;+\infty)$, нуль при $x=0$; функция возрастает на всей области определения.