Алгебра 8 класс: Целая и дробная части числа

Целая часть числа

📐 ОпределениеЦелой частью числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Обозначается так: $[x]$.

Слово «наибольшее» здесь ключевое: это не просто «отбросить всё после запятой», а найти самое большое целое число, которое всё ещё $\le x$. Для положительных чисел разницы нет, а вот для отрицательных — есть, и об этом чуть ниже.

        🪜
        Аналогия — лестницаПредставь лестницу, где каждая ступенька пронумерована целым числом, а ты стоишь где-то между ступеньками (например, на высоте $x=5{,}7$). Целая часть $[x]$ — это номер последней ступеньки, которую ты уже прошёл, поднимаясь снизу. Ты стоишь между ступенькой $5$ и ступенькой $6$, значит, последняя пройденная снизу — пятая: $[5{,}7]=5$.
      

Примеры: $[5{,}7]=5$; $\ [10]=10$ (целое число совпадает со своей целой частью); $\ [-7]=-7$.

Осторожно с отрицательными числами

⚠️ Частая ошибкаУченики часто считают, что $[-8{,}2]=-8$ — просто «отбрасывают» дробную часть, как у положительных чисел. Это неверно! Наибольшее целое число, не превосходящее $-8{,}2$, — это $-9$, а не $-8$ (ведь $-8 \gt -8{,}2$, то есть $-8$ уже превосходит $-8{,}2$ и не подходит по определению). Поэтому $[-8{,}2]=-9$.

Если представить это на лестнице, ведущей вниз в подвал (отрицательные ступеньки), то стоя на высоте $x=-8{,}2$ ты уже прошёл ступеньку $-9$ (она ниже), а до ступеньки $-8$ ещё не поднялся.

Дробная часть числа

📐 ОпределениеДробной частью числа $x$ называется разность между самим числом и его целой частью. Обозначается так: $\{x\}$. Таким образом, $\{x\} = x - [x]$.

Возвращаясь к лестнице: дробная часть — это то, насколько ты поднялся выше последней пройденной ступеньки, то есть остаток пути до следующей. Из определения сразу видно, что $\{x\}$ всегда находится в промежутке от $0$ до $1$ (не включая единицу) — просто потому, что от последней целой ступеньки до следующей ровно один «пролёт».

Примеры: $\{12{,}4\} = 12{,}4 - 12 = 0{,}4$; $\quad \{-3{,}5\} = -3{,}5 - [-3{,}5] = -3{,}5 - (-4) = 0{,}5$; $\quad \{7\} = 7 - 7 = 0$.

График функции $y=[x]$ — «лестница»

Разберём график по промежуткам. Если $0 \le x \lt 1$, то $[x]=0$ — значит, на промежутке $[0;1)$ график совпадает с прямой $y=0$. Но так как $[1]=1$, при $x=1$ график совершает «скачок» вверх.

Если $1 \le x \lt 2$, то $[x]=1$: график идёт горизонтально на высоте $y=1$, а при $x=2$ снова скачок. И так далее для каждого следующего целого числа — как в отрицательную, так и в положительную сторону.

В результате получается график, состоящий из горизонтальных «ступенек» одинаковой длины (по $1$ единице), где каждая следующая ступенька на $1$ выше предыдущей. Закрашенная точка слева — начало ступеньки (её значение входит в промежуток), незакрашенная точка справа — конец ступеньки (сюда график не «доходит», это уже начало следующей).

График функции $y=\{x\}$ — «пила»

Используем определение $\{x\}=x-[x]$. Если $0 \le x \lt 1$, то $[x]=0$, значит $\{x\}=x$ — на этом промежутке график совпадает с прямой $y=x$ (растёт от $0$ до почти $1$).

Если $1 \le x \lt 2$, то $[x]=1$, а $\{x\}=x-1$ — график на этом промежутке совпадает с прямой $y=x-1$: снова растёт от $0$ до почти $1$, только уже правее. При $x=1$ значение резко «падает» с почти $1$ обратно к $0$, и всё повторяется.

Получается график, похожий на зубья пилы: одинаковые нарастающие отрезки от $0$ до $1$, между которыми — резкие скачки вниз в каждой целой точке.

Запомни

🧠 Итоги$[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$ (для отрицательных чисел это не простое отбрасывание дробной части). $\{x\} = x-[x]$, причём всегда $0 \le \{x\} \lt 1$. График $y=[x]$ — ступенчатый, каждая ступенька закрыта слева и открыта справа. График $y=\{x\}$ — «пила»: пилообразные возрастающие отрезки от $0$ до $1$ со скачком вниз в каждой целой точке.

← Глава V · § 14 · п. 14.2 Свойства функций y = k/x и y = √x Все темы Глава VI · § 15 · п. 15.1 → Степень с целым отрицательным показателем

x =