В предыдущей теме мы научились понимать запись $a^{n}$, когда $n$ — целое отрицательное число (и знаем, что $a^0=1$ при $a\ne0$). Возникает вопрос: работают ли для таких степеней привычные правила — «при умножении степеней показатели складываются», «при делении — вычитаются», «степень степени — показатели перемножаются»?
💡Хорошая новостьДа, работают — без всяких исключений. Все свойства степени с натуральным показателем, изученные раньше, справедливы и для степени с любым целым показателем — нужно только следить, чтобы основание степени не было равно нулю.
Иначе говоря: действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями — только теперь показатель может быть и нулём, и отрицательным числом.
Доказательство свойства (1) для отрицательных показателей
Проверим, что свойство (1) действительно верно, когда оба показателя — целые отрицательные числа. Пусть $k$ и $p$ — натуральные числа, $a \ne 0$. Докажем, что $a^{-k}\cdot a^{-p} = a^{-k-p}$.
1По определению степени с целым отрицательным показателем заменяем каждый множитель дробью: $$a^{-k}\cdot a^{-p} = \frac{1}{a^{k}}\cdot\frac{1}{a^{p}}.$$
3В знаменателе $k$ и $p$ — натуральные числа, поэтому здесь можно применить уже известное основное свойство степени с натуральным показателем: $$a^{k}\cdot a^{p} = a^{k+p}.$$
4Получившуюся дробь $\dfrac{1}{a^{k+p}}$ снова записываем степенью с целым отрицательным показателем: $$\frac{1}{a^{k+p}} = a^{-(k+p)} = a^{-k-p}.$$ Что и требовалось доказать.
Примеры
Пример 1. Преобразуем произведение $a^{-17}\cdot a^{21}$. Основание оставляем тем же, показатели складываем: $$a^{-17}\cdot a^{21} = a^{-17+21} = a^{4}.$$
⚠️Частая ошибкаДля степеней с натуральным показателем правило деления $b^{m}:b^{n}=b^{m-n}$ применяли, только когда показатель делимого был не меньше показателя делителя (иначе получался бы отрицательный или дробный показатель — а такого раньше не было). Ученики по инерции продолжают требовать «$m \ge n$» и для степеней с целым показателем — но теперь это ограничение снято: раз степень с любым целым показателем уже определена, $m$ и $n$ могут быть любыми целыми числами, даже если $m < n$ (как в примере 2 выше, где $2 < 5$).
Проверь равенство сам
Справа — рычажные весы. На левой чаше — выражение из левой части выбранного свойства, на правой — из правой части. Подвинь ползунки показателей $m$ и $n$ — какие бы целые значения ты ни выбрал (кроме запрещённых), весы всегда останутся в равновесии: обе части свойства при подстановке дают одно и то же число.
Запомни
🧠ИтогиДля $a\ne0$, $b\ne0$ и любых целых $m,n$: $$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\quad a^{m}:a^{n}=a^{m-n},\quad (a^{m})^{n}=a^{mn},$$ $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n},\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}.$$ Все пять правил — те же, что для натурального показателя, только теперь без ограничений на знак показателя.