8 класс · Степень с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Старые правила — для новых показателей

В предыдущей теме мы научились понимать запись $a^{n}$, когда $n$ — целое отрицательное число (и знаем, что $a^0=1$ при $a\ne0$). Возникает вопрос: работают ли для таких степеней привычные правила — «при умножении степеней показатели складываются», «при делении — вычитаются», «степень степени — показатели перемножаются»?

💡 Хорошая новостьДа, работают — без всяких исключений. Все свойства степени с натуральным показателем, изученные раньше, справедливы и для степени с любым целым показателем — нужно только следить, чтобы основание степени не было равно нулю.

Пять свойств

📐 Для любого $a\ne0$ и любых целых $m,\,n$

$$a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n} \quad (1)$$

$$a^{m} : a^{n} = a^{m-n} \quad (2)$$

$$(a^{m})^{n} = a^{mn} \quad (3)$$

а для любых $a\ne0$, $b\ne0$ и целого $n$:

$$(ab)^{n} = a^{n}b^{n} \quad (4)$$

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} \quad (5)$$

Иначе говоря: действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями — только теперь показатель может быть и нулём, и отрицательным числом.

Доказательство свойства (1) для отрицательных показателей

Проверим, что свойство (1) действительно верно, когда оба показателя — целые отрицательные числа. Пусть $k$ и $p$ — натуральные числа, $a \ne 0$. Докажем, что $a^{-k}\cdot a^{-p} = a^{-k-p}$.

1 По определению степени с целым отрицательным показателем заменяем каждый множитель дробью: $$a^{-k}\cdot a^{-p} = \frac{1}{a^{k}}\cdot\frac{1}{a^{p}}.$$
2 Перемножаем дроби: $$\frac{1}{a^{k}}\cdot\frac{1}{a^{p}} = \frac{1}{a^{k}\cdot a^{p}}.$$
3 В знаменателе $k$ и $p$ — натуральные числа, поэтому здесь можно применить уже известное основное свойство степени с натуральным показателем: $$a^{k}\cdot a^{p} = a^{k+p}.$$
4 Получившуюся дробь $\dfrac{1}{a^{k+p}}$ снова записываем степенью с целым отрицательным показателем: $$\frac{1}{a^{k+p}} = a^{-(k+p)} = a^{-k-p}.$$ Что и требовалось доказать.

Примеры

Пример 1. Преобразуем произведение $a^{-17}\cdot a^{21}$. Основание оставляем тем же, показатели складываем: $$a^{-17}\cdot a^{21} = a^{-17+21} = a^{4}.$$

Пример 2. Преобразуем частное $b^{2} : b^{5}$. Основание оставляем прежним, из показателя делимого вычитаем показатель делителя: $$b^{2}:b^{5} = b^{2-5} = b^{-3}.$$

Пример 3. Упростим выражение $(2a^{3}b^{-5})^{-2}$. Сначала применим свойство (4), затем свойство (3):

$$(2a^{3}b^{-5})^{-2} = 2^{-2}\cdot(a^{3})^{-2}\cdot(b^{-5})^{-2} = \frac{1}{4}a^{-6}b^{10}.$$

Ограничение снято

⚠️ Частая ошибкаДля степеней с натуральным показателем правило деления $b^{m}:b^{n}=b^{m-n}$ применяли, только когда показатель делимого был не меньше показателя делителя (иначе получался бы отрицательный или дробный показатель — а такого раньше не было). Ученики по инерции продолжают требовать «$m \ge n$» и для степеней с целым показателем — но теперь это ограничение снято: раз степень с любым целым показателем уже определена, $m$ и $n$ могут быть любыми целыми числами, даже если $m < n$ (как в примере 2 выше, где $2 < 5$).

Проверь равенство сам

Справа — рычажные весы. На левой чаше — выражение из левой части выбранного свойства, на правой — из правой части. Подвинь ползунки показателей $m$ и $n$ — какие бы целые значения ты ни выбрал (кроме запрещённых), весы всегда останутся в равновесии: обе части свойства при подстановке дают одно и то же число.

Запомни

🧠 ИтогиДля $a\ne0$, $b\ne0$ и любых целых $m,n$: $$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\quad a^{m}:a^{n}=a^{m-n},\quad (a^{m})^{n}=a^{mn},$$ $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n},\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}.$$ Все пять правил — те же, что для натурального показателя, только теперь без ограничений на знак показателя.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике