В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень маленькие положительные числа. Например, объём Земли выражается большим числом — 1 083 000 000 000 км³, а диаметр молекулы воды — маленьким числом: 0,0000000003 м.
💡НеудобствоВ обычной десятичной записи такие числа неудобно читать, записывать и вообще что-либо с ними делать — слишком много нулей приходится держать в голове. Выход — представить число в виде произведения $a\cdot10^{n}$, где $n$ — целое число.
Стандартный вид числа
Такое представление можно записать по-разному. Например: $$125000 = 0{,}125\cdot10^{6} = 1{,}25\cdot10^{5} = 12{,}5\cdot10^{4}.$$ Все три записи верны, но среди них есть одна особенная — та, где перед запятой стоит ровно одна цифра от 1 до 9.
📐ОпределениеСтандартным видом числа $a$ называют его запись в виде $$a = a_0\cdot10^{n},\qquad 1 \le a_0 < 10,$$ где $n$ — целое число. Число $n$ называют порядком числа $a$.
В стандартном виде можно представить любое положительное число. Так, объём Земли в стандартном виде — $1{,}083\cdot10^{12}$ км³, а диаметр молекулы воды — $3\cdot10^{-10}$ м.
Что говорит порядок числа
Порядок числа даёт представление о том, насколько число велико или мало.
Если порядок числа $a$ равен $3$, значит $1000 \le a_0\cdot10^3 < 10000$.
Если порядок числа $a$ равен $-2$, значит $0{,}01 \le a < 0{,}1$.
Большой положительный порядок показывает, что число очень велико (как объём Земли, порядок $12$). Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало (как диаметр молекулы воды, порядок $-10$).
Пример 1. Число больше 1
Представим в стандартном виде число $a = 4\,350\,000$.
1Ставим запятую так, чтобы в целой части оказалась ровно одна цифра: получаем $4{,}350000$, то есть $4{,}35$.
2Отделив запятой $6$ цифр справа, мы уменьшили число в $10^{6}$ раз. Значит, само число $a$ больше числа $4{,}35$ в $10^{6}$ раз.
3Отсюда $$4\,350\,000 = 4{,}35\cdot10^{6}.$$
Пример 2. Число меньше 1
Представим в стандартном виде число $a = 0{,}000508$.
1Переставляем запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра: получаем $5{,}08$.
2Переставив запятую на $4$ знака вправо, мы увеличили число в $10^4$ раз. Значит, само число $a$ меньше числа $5{,}08$ в $10^4$ раз.
⚠️Частая ошибкаУченики верно считают, на сколько знаков сдвинулась запятая, но забывают про знак порядка. Если число меньше единицы (запятая двигалась вправо), порядок обязательно отрицательный: $0{,}000508 = 5{,}08\cdot10^{-4}$, а не $5{,}08\cdot10^{4}$. Если число больше десяти (запятая двигалась влево), порядок положительный. Направление сдвига запятой и определяет знак $n$.
Подвигай запятую сам
Справа — числа из этой темы в виде ряда цифр. Ползунок двигает запятую влево и вправо. Найди то единственное положение, при котором перед запятой остаётся ровно одна цифра от 1 до 9 — именно это и есть стандартный вид числа $a\cdot10^n$.
Запомни
🧠ИтогиСтандартный вид числа: $$a = a_0\cdot10^{n},\qquad 1 \le a_0 < 10,\ n\in\mathbb{Z}.$$ $n$ — порядок числа: показывает, насколько число велико (n$>$0, большое) или мало (n$<$0, маленькое). Запятая двигается влево — порядок растёт; запятая двигается вправо — порядок убывает.