7 класс · Действительные числа

Сравнение действительных чисел

Как сравнивают бесконечные десятичные дроби

Действительное число — это бесконечная десятичная дробь. Чтобы сравнить два таких числа $a$ и $b$, не нужно «дописывать» их до конца — это невозможно, ведь дробь бесконечная. Вместо этого пользуются тремя простыми правилами, которые смотрят на запись числа: сначала на знак, потом на целую часть, потом на цифры после запятой по порядку слева направо.

💡 Из жизни: представь, что сравниваешь два длинных телефонных номера. Не обязательно запоминать номер целиком — достаточно сверять цифры по порядку слева направо: как только нашлась первая несовпадающая цифра, дальше можно не проверять — номера точно разные. Так же и с бесконечными дробями: ищем самое первое различие.

Если действительные числа $a$ и $b$ равны, пишут $a = b$; если $a$ меньше $b$ — $a < b$ (или $b > a$); если $a$ не равно $b$ — $a \neq b$.

Правило 1. Когда числа равны

Определение. Две бесконечные десятичные дроби (два действительных числа) равны, если у них одинаковые знаки, одинаковые целые части и одинаковые цифры во всех соответствующих разрядах после запятой. Во всех остальных случаях дроби считаются не равными.

Единственное исключение — число 0: перед ним можно ставить любой знак, оно от этого не меняется:

$$0 = 0{,}000\ldots = -0{,}000\ldots = +0{,}000\ldots$$

Заметь: 2,(3) и 2,333333… — это одна и та же бесконечная дробь 2,333333…, просто записанная двумя разными способами (через скобки периода и через явное повторение цифры). Поэтому эти числа равны.

Правило 2. Ноль и разные знаки

Определение. Отрицательная бесконечная десятичная дробь всегда меньше нуля и меньше любой положительной дроби. Число 0 меньше любой положительной дроби.

Иначе говоря: если знаки у чисел разные — сравнение окончено сразу, ещё до того, как мы посмотрели на цифры. Отрицательное число проигрывает нулю, а ноль проигрывает положительному. Смотри пример −10,(4) и 0 в интерактиве.

Правило 3. Числа одного знака

Если знаки у чисел одинаковые, знак пока «отставляем в сторону» и сравниваем сами дроби (их абсолютные величины) по такому алгоритму:

1
Если целые части разные — больше та дробь, у которой целая часть больше. Пример: 12,357142… и 5,918273… — сравнивать после запятой уже не нужно, раз $12 > 5$.
2
Если целые части одинаковые — переходим к цифрам после запятой и идём слева направо, пока не найдём первый разряд, где цифры различаются. Больше та дробь, у которой цифра в этом разряде больше. Пример: 5,4444444 и 5,5444444.
3
Если обе дроби отрицательные — сравнение абсолютных величин нужно перевернуть: у отрицательных чисел та дробь больше, у которой абсолютная величина меньше. Разберём это на конкретном примере ниже.

Разбор примера

Сравним −3,1 и −3,(1). Сначала сравним модули: $|-3{,}1| = 3{,}1000\ldots$, а $|-3{,}(1)| = 3{,}1111\ldots$ Целые части одинаковые (3 = 3), первая цифра после запятой тоже одинаковая (1 = 1), а вот вторая цифра разная: у первого числа это 0, у второго — 1. Так как $0 < 1$, получаем $3{,}1 < 3{,}(1)$ — модуль первого числа меньше.

Но сами числа отрицательные! А для отрицательных чисел меньший модуль означает большее число. Поэтому вывод переворачивается:

$$-3{,}1 > -3{,}(1)$$

Открой этот пример в интерактиве и пройди сравнение по шагам кнопкой.

Запомни

⚠️ Частая ошибка: сравнивая отрицательные числа, забывают «перевернуть» неравенство. Раз $3{,}1 < 3{,}(1)$, кажется логичным, что и $-3{,}1 < -3{,}(1)$ — но это неверно! У отрицательных чисел всё наоборот: чем меньше модуль, тем больше само число. Правильный ответ: $-3{,}1 > -3{,}(1)$.
🧠 Сравнение действительных чисел — это всегда порядок: 1) знак, 2) целая часть, 3) цифры после запятой слева направо до первого различия. Для чисел одного знака побеждает бо́льшая цифра — кроме случая, когда оба числа отрицательные: там побеждает число с меньшим модулем.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике