Действительное число — это бесконечная десятичная дробь. Чтобы сравнить два таких
числа $a$ и $b$, не нужно «дописывать» их до конца — это невозможно, ведь дробь
бесконечная. Вместо этого пользуются тремя простыми правилами, которые смотрят на
запись числа: сначала на знак, потом на целую часть, потом на цифры после запятой
по порядку слева направо.
💡 Из жизни: представь, что сравниваешь два длинных телефонных
номера. Не обязательно запоминать номер целиком — достаточно сверять цифры по
порядку слева направо: как только нашлась первая несовпадающая цифра, дальше можно
не проверять — номера точно разные. Так же и с бесконечными дробями: ищем самое
первое различие.
Если действительные числа $a$ и $b$ равны, пишут $a = b$; если $a$ меньше $b$ —
$a < b$ (или $b > a$); если $a$ не равно $b$ — $a \neq b$.
Правило 1. Когда числа равны
Определение. Две бесконечные десятичные дроби (два действительных
числа) равны, если у них одинаковые знаки, одинаковые целые части и одинаковые
цифры во всех соответствующих разрядах после запятой. Во всех остальных случаях
дроби считаются не равными.
Единственное исключение — число 0: перед ним можно ставить любой знак, оно от
этого не меняется:
Заметь: 2,(3) и 2,333333… — это одна и
та же бесконечная дробь 2,333333…, просто записанная двумя разными способами
(через скобки периода и через явное повторение цифры). Поэтому эти числа равны.
Правило 2. Ноль и разные знаки
Определение. Отрицательная бесконечная десятичная дробь всегда
меньше нуля и меньше любой положительной дроби. Число 0 меньше любой положительной
дроби.
Иначе говоря: если знаки у чисел разные — сравнение окончено сразу, ещё до того,
как мы посмотрели на цифры. Отрицательное число проигрывает нулю, а ноль проигрывает
положительному. Смотри пример
−10,(4) и 0 в интерактиве.
Правило 3. Числа одного знака
Если знаки у чисел одинаковые, знак пока «отставляем в сторону» и сравниваем
сами дроби (их абсолютные величины) по такому алгоритму:
1
Если целые части разные — больше та дробь, у которой целая часть
больше. Пример: 12,357142… и
5,918273… — сравнивать после запятой уже не нужно, раз $12 > 5$.
2
Если целые части одинаковые — переходим к цифрам после запятой и идём
слева направо, пока не найдём первый разряд, где цифры различаются.
Больше та дробь, у которой цифра в этом разряде больше. Пример:
5,4444444 и 5,5444444.
3
Если обе дроби отрицательные — сравнение абсолютных величин
нужно перевернуть: у отрицательных чисел та дробь больше, у которой
абсолютная величина меньше. Разберём это на настоящем примере из
учебника ниже.
Разбор примера из учебника
Сравним −3,1 и −3,(1). Сначала сравним
модули: $|-3{,}1| = 3{,}1000\ldots$, а $|-3{,}(1)| = 3{,}1111\ldots$ Целые части
одинаковые (3 = 3), первая цифра после запятой тоже одинаковая (1 = 1), а вот вторая
цифра разная: у первого числа это 0, у второго — 1. Так как $0 < 1$, получаем
$3{,}1 < 3{,}(1)$ — модуль первого числа меньше.
Но сами числа отрицательные! А для отрицательных чисел меньший
модуль означает большее число. Поэтому вывод переворачивается:
$$-3{,}1 > -3{,}(1)$$
Открой этот пример в интерактиве справа и пройди сравнение по шагам кнопкой.
Запомни
⚠️ Частая ошибка: сравнивая отрицательные числа, забывают
«перевернуть» неравенство. Раз $3{,}1 < 3{,}(1)$, кажется логичным, что и
$-3{,}1 < -3{,}(1)$ — но это неверно! У отрицательных чисел всё наоборот: чем
меньше модуль, тем больше само число. Правильный ответ: $-3{,}1 > -3{,}(1)$.
🧠 Сравнение действительных чисел — это всегда порядок: 1) знак,
2) целая часть, 3) цифры после запятой слева
направо до первого различия. Для чисел одного знака побеждает бо́льшая цифра —
кроме случая, когда оба числа отрицательные: там побеждает
число с меньшим модулем.