9 класс · Неравенства

Числовые неравенства

          💡
          Из жизниПлощадь спортзала больше площади классной комнаты. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга меньше расстояния от Москвы до Пятигорска. Мы постоянно сравниваем величины — и каждый раз результат такого сравнения можно записать в виде числового неравенства, используя знаки $>$ и $<$.
        

Определение — сравнение через разность

Числа можно сравнивать не только «на глаз», но и универсальным способом — через их разность. Если разность двух чисел положительна, уменьшаемое больше вычитаемого; если разность отрицательна — уменьшаемое меньше вычитаемого.

📐 Определение Число $a$ считают больше числа $b$ (пишут $a > b$), если разность $a-b$ — положительное число.
Число $a$ считают меньше числа $b$ (пишут $a < b$), если разность $a-b$ — отрицательное число.

Так задача о сравнении двух чисел сводится к задаче о сравнении их разности с нулём. Разность чисел $a$ и $b$ может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равной нулю — поэтому для любых чисел $a$ и $b$ верно ровно одно из трёх соотношений: $a > b$, $a < b$, $a = b$.

Если $a > b$, то на координатной прямой точка, изображающая число $a$, лежит правее точки, изображающей число $b$.

Например, верны неравенства $12 > 7$, $-17 < 3$, $\tfrac{15}{23} > \tfrac{11}{23}$ — в каждом случае это можно проверить, вычислив разность и посмотрев на её знак.

Нестрогие неравенства: «не больше», «не меньше»

В повседневной жизни часто встречаются выражения «не больше» и «не меньше». Например, по санитарным нормам в 9 классе должно быть не больше 25 учеников; дорожный знак может требовать, чтобы скорость была не меньше 30 км/ч.

🔤 Знаки нестрогого неравенства «Не больше» записывают знаком $\le$ («меньше или равно»): если $a < b$ или $a = b$, то верно $a \le b$.
«Не меньше» записывают знаком $\ge$ («больше или равно»): если $a > b$ или $a = b$, то верно $a \ge b$.

Например, неравенства $7 \le 7$, $7 \le 15$, $-3 \ge -5$ верны, а неравенство $7 \le 5$ — неверно. Знаки $>$ и $<$ называют знаками строгого неравенства, а знаки $\ge$ и $\le$ — знаками нестрогого неравенства.

Пример — докажем неравенство через разность

Докажите, что при любом значении $a$ верно неравенство $(a+1)(a+2) > a(a+3)$.

Достаточно показать, что разность левой и правой частей положительна при любом $a$. Составим эту разность: $(a+1)(a+2) - a(a+3)$.

Раскроем скобки: $$(a+1)(a+2) - a(a+3) = a^2+2a+a+2-a^2-3a.$$

Приведём подобные слагаемые — все члены с $a^2$ и с $a$ сокращаются: $$a^2+3a+2-a^2-3a = 2.$$

Разность равна $2$, а $2 > 0$ — и это верно при любом значении $a$. Значит, неравенство $(a+1)(a+2) > a(a+3)$ доказано для всех $a$.

⚠️ Частая ошибкаПри сравнении отрицательных чисел иногда рассуждают так же, как с положительными: «раз $17 > 3$, значит и $-17 > 3$». Это неверно! У отрицательных чисел всё наоборот: чем больше модуль, тем меньше само число. Проверим через разность: $-17 - 3 = -20$, а $-20 < 0$ — значит, $-17 < 3$, а не наоборот.

🧠 ЗапомниЧтобы сравнить числа $a$ и $b$, вычисли разность $a-b$. Разность положительна — $a > b$. Разность отрицательна — $a < b$. Разность равна нулю — $a = b$. Знак $\ge$ значит «больше или равно», знак $\le$ значит «меньше или равно».

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике