💡Из жизниЕсли рост Пети больше роста Васи, а рост Васи больше роста Коли, то, даже не измеряя, ты точно знаешь: рост Пети больше роста Коли. Это интуитивно понятное свойство — транзитивность — и ещё два свойства числовых неравенств (что можно, а что нельзя делать с обеими частями неравенства) и составляют основу этого параграфа.
Теорема 2.1 — транзитивность
📐Теорема
Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
Доказательство опирается на то же определение, что и в §1 — через разность. По условию $a - b$ и $b - c$ — оба положительны. Тогда положительна и их сумма: $$(a-b)+(b-c) = a-c.$$ Значит, разность $a-c$ положительна, то есть $a > c$.
Аналогично: если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$. Геометрически это очевидно: если на координатной прямой точка $A(a)$ лежит правее точки $B(b)$, а точка $B(b)$ — правее точки $C(c)$, то и $A(a)$ лежит правее $C(c)$.
Теорема 2.2 — прибавление числа к обеим частям
📐Теорема
Если $a > b$ и $c$ — любое число, то $a + c > b + c$.
Доказательство: рассмотрим разность $(a+c) - (b+c) = a - b$. По условию $a>b$, значит $a-b > 0$, а тогда и $(a+c)-(b+c) > 0$, то есть $a+c > b+c$.
Проще говоря: если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число — неравенство останется верным.
➡️Следствие — перенос слагаемогоЛюбое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, поменяв его знак на противоположный — неравенство останется верным. Например, из $a > b+c$ вычитанием $c$ из обеих частей получаем $a - c > b$.
Теорема 2.3 — умножение (деление) обеих частей на число
📐Теорема
Если $a > b$ и $c$ — положительное число, то $ac > bc$.
Если $a > b$ и $c$ — отрицательное число, то $ac < bc$.
Доказательство: разность $ac - bc = c(a-b)$. Так как $a>b$, число $a-b$ положительно. Если $c>0$ — произведение $c(a-b)$ положительно, значит $ac>bc$. Если $c<0$ — произведение $c(a-b)$ отрицательно, значит $ac \lt bc$: знак неравенства меняется на противоположный.
Другими словами: обе части верного неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число без изменения знака; а при умножении/делении на отрицательное число знак неравенства нужно поменять.
➡️Следствие — переворот дробиЕсли $a > b$ и $ab > 0$ (то есть $a$ и $b$ одного знака), то $\tfrac{1}{a} < \tfrac{1}{b}$. Например, $5 > 3 \Rightarrow \tfrac15 < \tfrac13$. А вот условие $ab>0$ важно: неравенство $5 > -3$ верно, но $\tfrac15 < -\tfrac13$ — уже неверно.
Пример — применяем свойство прибавления
Решите неравенство $3x - 5 > 2x + 1$, используя только теорему 2.2 (прибавление/вычитание одного числа из обеих частей).
1
Дано неравенство $3x - 5 > 2x + 1$. Вычтем из обеих частей $2x$ (теорема 2.2 — неравенство не изменится): $$3x - 5 - 2x > 2x + 1 - 2x.$$
2
После приведения подобных слагаемых: $$x - 5 > 1.$$
Мы дважды применили одно и то же свойство — прибавление числа к обеим частям верного неравенства — и получили ответ: $x > 6$.
⚠️Частая ошибкаПри умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число ученики забывают поменять знак неравенства на противоположный. Например, из $-2x < 6$ при делении на $-2$ получают (неверно) $x < -3$, хотя правильно $x > -3$ — знак $<$ обязан смениться на $>$, потому что делим на отрицательное число.
🧠Запомни
1) Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$ (транзитивность).
2) К обеим частям неравенства можно прибавить/вычесть любое число — знак не меняется.
3) Обе части неравенства можно умножить/разделить на положительное число — знак не меняется; на отрицательное — знак меняется на противоположный.